lsn-snk5.此时 Ism, -xsls, -sl+, -xka s.→x,X是完备的 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法?试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质,让我们先来介绍稠密性和Bare纲的概念 定义2设X是度量空间,EcX (1)称E在X中稠密,若E=X (2)称E在X中无处稠密,若(E)=② (3)称E是第一纲的,若E可以写成至多可数多个无处稠密集的并 X中不是第一纲的集合称为是第二纲的 (4)称空间X具有 Baire性质,若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密 例如,有理数的全体Q在整个实数域R中是稠密的.而 Cantor的三分点集E在[01中 是无处稠密的 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些 命题1设X是度量空间,EcX,则以下条件等价 (1)E在X中稠密 (2)对于X中任一非空开集U,E∩U≠ (3)对于任何x∈X,存在xn∈X,使得xn→x 证明(1)→(2)设U是X中的非空开集.由于E=EUE=X,要么有E∩U≠, 此时结论为真.要么E∩U≠⑧.此时由E的性质(第二讲命题4(3)),存在xn∈E,xn≠x x→x.显然必有某个xn∈U,所以也有E∩U≠② (2)→(3)Wx∈X,取Un=O(x,rn),rn→0,由(2)中条件,彐xn∈Un∩E, 于是xn→x.(3)→(1)是明显的 命题2设X是度量空间,EcX,则以下条件等价: (1)E在X中无处稠密 (2)E在X中无处稠密 (3)对于X中任一非空开球U,存在非空开球VcU,使得V∩E=⑧ (4)(E)在X中稠密 证明(1)与(2)的等价性直接由定义得到 (1)→(3)若E在X中无处稠密,即(E)°=②,则对于任何开球U,U\E≠⑧.注2 || || ε sn − sn < i ．此时 || s − x ||≤|| s − s || + || s − x ||< ε n n ni ni ， 即 s x n → ， X 是完备的． 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法？试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质，让我们先来介绍稠密性和 Baire 纲的概念． 定义 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称 E 在 X 中稠密，若 E ⊃ X ． （2）称 E 在 X 中无处稠密，若 = ∅ 0 (E) ． （3）称 E 是第一纲的，若 E 可以写成至多可数多个无处稠密集的并． X 中不是第一纲的集合称为是第二纲的． （4）称空间 X 具有 Baire 性质，若 X 中可数多个稠密开集之交仍在 X 中稠密． 例如，有理数的全体Q 在整个实数域 R 中是稠密的．而 Cantor 的三分点集 E 在[0,1]中 是无处稠密的． 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些． 命题 1 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中稠密． （2）对于 X 中任一非空开集U ， E ∩U ≠ ∅ ． （3）对于任何 x ∈ X ，存在 xn ∈ X ，使得 x x n → ． 证明 （1）⇒（2） 设U 是 X 中的非空开集．由于 E = E ∪ E′ ⊃ X ，要么有 E ∩U ≠ ∅ ， 此时结论为真．要么 E′∩U ≠ ∅ ．此时由 E 的性质（第二讲命题 4（3）），存在 xn ∈ E ，x x n ≠ ， x x n → ．显然必有某个 xn ∈U ，所以也有 E ∩U ≠ ∅ ． （2）⇒ （3） ∀x ∈ X ，取 ( , ) n n U = O x r ， rn → 0 ，由（2）中条件，∃xn ∈Un ∩ E ， 于是 x x n → ．（3）⇒ （1）是明显的． 命题 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中无处稠密． （2） E 在 X 中无处稠密． （3）对于 X 中任一非空开球U ，存在非空开球V ⊂U ，使得V ∩ E = ∅ ． （4） c (E) 在 X 中稠密． 证明 （1）与（2）的等价性直接由定义得到． （1）⇒（3） 若 E 在 X 中无处稠密，即 = ∅ 0 (E) ，则对于任何开球U ，U \ E ≠ ∅ ．注