意U\E是开集,从而存在开球VcU\E,使得∩E= (3)→(1)若(E)°≠⑧,取U=(E)°,则对于任何开球VcU,VcE,由命题1 (2)的证明知V∩E≠⑧,此与(3)矛盾 (1)→(4)记B=(E),若B≠X,则E=X\BX\B≠⑧.后者是开集,故 (E)≠②,从而E不是无处稠密的.矛盾 (4)→(2)(E)在X中稠密,则E不含内点,即(E)°= 定理3 (1)完备度量空间具有Bare性质 (2)具有Bare性质的空间本身是第二纲集 证明1°设X是完备的,B是X中一列稠密开集,只须证明对于X中任一开球U, B1∩U≠ B在X中稠密,故B1∩U≠②,此时x1∈X,r>0,使得O(x1,n)cB∩U.于是闭 球Sx1,|cB1∩U B2在x中稠密,故B∩o(x,|≠8.从而玉∈x和>0(不妨设<|,使得 0A=0()==D,此时用球号=x 如此做下去,一般地得到闭球 xn|co(xn)<B∩U,n≥1, 显然序列3,1,n21满足定理1的条件,实际上,Sxn 并且 In<in-l X完备,所以彐x∈X xens,n)=ox,)=B.∩U 故∩Bn在X中稠密 若x=UEn,其中E,是无处稠密集,显然X=UE,令B=X\E,则B是开集 并且由命题2(4),B在X中稠密.现在意U \ E 是开集，从而存在开球V ⊂ U \ E ，使得V ∩ E = ∅ ． （3）⇒ （1） 若 ≠ ∅ 0 (E) ，取 0 U = (E) ，则对于任何开球V ⊂U ，V ⊂ E ，由命题 1 （1）⇒ （2）的证明知V ∩ E ≠ ∅ ，此与（3）矛盾． （1） ⇒ （4） 记 c B = (E) ，若 B ≠ X ，则 E = X \ B ⊃ X \ B ≠ ∅ ．后者是开集，故 0 ( ) E ≠ ∅ ，从而 E 不是无处稠密的．矛盾． （4）⇒ （2） c (E) 在 X 中稠密，则 E 不含内点，即 = ∅ 0 (E) ． 定理 3 （1）完备度量空间具有 Baire 性质． （2）具有 Baire 性质的空间本身是第二纲集． 证明 1°设 X 是完备的， Bi 是 X 中一列稠密开集，只须证明对于 X 中任一开球U ， ≠ ∅ ∞ = Bi U i ∩ ∩ 1 ． B1 在 X 中稠密，故 Bi ∩U ≠ ∅ ．此时∃x1 ∈ X ， 0 r1 > ，使得O(x1 ,r1 ) ⊂ B1 ∩U ．于是闭 球 B U r S x 1 ∩ 1 1 2 ,  ⊂      ． B2 在 X 中稠密，故  ≠ ∅      2 , 1 2 1 r B ∩O x ．从而 ∃x2 ∈ X 和 0 r2 >       < 2 1 2 r 不妨设r ，使得 B U r O x r B O x  ⊂ ⊂      ⊂ 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ∩ , ，此时闭球 ," 2 , 2 , 1 1 2 2        ⊂      r S x r S x ． 如此做下去，一般地得到闭球 O x r B U r S x n n n n n  ⊂ ⊂ ∩      ( , ) 2 , ， n ≥1, 显然序列         2 , n n r S x ， n ≥1满足定理 1 的条件，实际上， 1 1 , , 2 2 n n n n r r Sx Sx − −       ⊂    并且 1 1 2 0. 22 2 n n n r r r − ≤ ≤≤ → " X 完备，所以∃x∈ X ， O x r B U r x S x n n n n n n n n ∩ ∩ ∩ ∩ ∞ = ∞ = ∞ =  ⊂ ⊂      ∈ 1 1 1 ( , ) 2 , 故 n n B ∞ =1 ∩ 在 X 中稠密． 2° 若 n n X E ∞ = = 1 ∪ ，其中 En 是无处稠密集，显然 n n X E ∞ = = 1 ∪ ．令 Bn X En = \ ，则 Bn 是开集 并且由命题 2（4）， Bn 在 X 中稠密．现在