O=X\UE,=n(X\E=nB 这与X具有Bare性质矛盾,所以X只能是第二纲集 定理证毕 下面让我们介绍一些关于映射的记号和基本知识 设X,Y是任意点集,T是从X到Y中的映射(算子),AcX,BcY,今后记 T(A)={y∈y;y=Tx,wx∈A}, T(B)={x∈xy=Tx,vy∈B} 称T(A)是集合A的像,T-(B)是集合B的原像 定义3设X,Y是两个度量空间,T:X→Y是一个映射 (1)称T是在x∈X连续的,若对于任何xn∈X,xn→x,则Txn→Tx (2)若T在X的每一点连续,称T在X上连续 T在x连续的定义也可以用邻域的说法来表述,即T在x连续当且仅当对于Tx0的任 邻域O(Tx)存在x的邻域O(x)使得TO(x)cO(1x).甚至于可以用E-δ语言来叙述连 续性,它们彼此是等价的.读者不妨作为练习直接验证之 定理4设X,Y是度量空间,T:X→Y是一映射 (1)T在X上连续当且仅当对于任一开集BcY,T(B)是X中的开集 (2)上面开集换为闭集结论仍成立 证明分别以O(x),O(x)表示x在X中和Tx在y中的邻域,它们是包含该点的任 开集 1°设T在X上连续,BcY为开集.对于任意的x∈T(B),由于y=Tx∈B,存在 O(Tx)∈B.T在x连续,从而有O(x),T(Ox)cO(x)cB,于是O(x)∈T-(B),T(B) 为开集 反之,若对于任意开集BcY,T-(B)开,则对于任意的x∈X和Tx的邻域O(Tx), O(x)=T(O(Tx)为开集.显然x∈O(x),T(0(x)cO(x),故T在x连续,从而在X上连 续 2°从等式7(Y\B)=X\7(B)(VBcY)即得之 定义4设X,Y是线性空间,T:X→Y是一映射 (1)称T为线性映射或算子,若ⅵx,x2∈X,a,B∈,n n n n n n X E X E B ∞ = ∞ = ∞ = ∅ = = = 1 1 1 \ ∪ ∩( \ ) ∩ ， 这与 X 具有 Baire 性质矛盾，所以 X 只能是第二纲集． 定理证毕． 下面让我们介绍一些关于映射的记号和基本知识． 设 X ，Y 是任意点集，T 是从 X 到 Y 中的映射（算子）， A ⊂ X ， B ⊂ Y ，今后记 T(A) ={y∈Y; y = Tx,∀x∈ A}， ( ) { ; , } 1 T B = x∈ X y = Tx ∀y∈ B − ． 称T(A) 是集合 A 的像， ( ) 1 T B − 是集合 B 的原像． 定义 3 设 X ，Y 是两个度量空间，T : X →Y 是一个映射． （1）称T 是在 x0 ∈ X 连续的，若对于任何 xn ∈ X ， 0 x x n → ，则Txn → Tx0 ． （2）若T 在 X 的每一点连续，称T 在 X 上连续． T 在 0 x 连续的定义也可以用邻域的说法来表述，即T 在 0 x 连续当且仅当对于Tx0 的任一 邻域 ( ) O Tx0 存在 0 x 的邻域 ( ) 0 O x 使得 ( ( )) ( ) 0 O Tx0 T O x ⊂ ．甚至于可以用ε −δ 语言来叙述连 续性，它们彼此是等价的．读者不妨作为练习直接验证之． 定理 4 设 X ，Y 是度量空间，T : X →Y 是一映射． （1）T 在 X 上连续当且仅当对于任一开集 B ⊂ Y ， ( ) 1 T B − 是 X 中的开集． （2）上面开集换为闭集结论仍成立． 证 明 分别以O(x) ，O(Tx) 表示 x 在 X 中和Tx 在Y 中的邻域，它们是包含该点的任一 开集． 1°设T 在 X 上连续， B ⊂ Y 为开集．对于任意的 ( ) 1 x T B − ∈ ，由于 y = Tx∈ B ，存在 O(Tx) ⊂ B ．T 在 x 连续，从而有O(x) ，T (O(x)) ⊂ O(Tx) ⊂ B ，于是 ( ) ( ) 1 O x T B − ∈ ， ( ) 1 T B − 为开集． 反之，若对于任意开集 B ⊂ Y ， ( ) 1 T B − 开，则对于任意的 x ∈ X 和Tx 的邻域O(Tx) ， ( ) ( ( )) 1 O x T O Tx − = 为开集．显然 x ∈O(x) ，T (O(x)) ⊂ O(Tx) ，故T 在 x 连续，从而在 X 上连 续． 2°从等式 ( \ ) \ ( ) 1 1 T Y B X T B − − = (∀B ⊂ Y) 即得之． 定义 4 设 X ，Y 是线性空间，T : X →Y 是一映射． （1）称T 为线性映射或算子，若∀x1 , x2 ∈ X ，α,β ∈Φ