T(a+ Rx2=alx,+Blx (2)当Y=①时,(1)中的线性算子T称为X上的线性泛函 关于映射(算子),以下事实应该注意: 1°对于T:x→Y,我们记R(T)=7(X).则可以验证R()是Y的线性子空间,称R(T) 是T的值空间.若R()=y,称T是到上的(满射).若对于任何Tx1,Tx2∈R(T),由Tx1=Tx2 可推出x1=x2,则称T是一一的(单射).既是满射又是单射的映射又称为双射 2°若T是线性的,则70=0.记N(T)={x∈X;Tx=0},容易验证N(T)是X的线性子 空间并且T是一一的当且仅当N(T)={0},称N(T)是T的0空间 3°对于线性算子T,若T是一一映射,则对于每个y∈R(T),Ty是X中惟一的元 素.此时称映射r-:R(T)→X,(其中Tx=y时令r-y=x)是T的逆映射.容易验证此时 T-也是线性算子 线性算子与线性泛函在代数、几何和经典分析中是经常遇到的,现举例如下 例4设X=",Y=①".对于每个mxm阶矩阵A=(an),定义 j=1,…,m (4) 容易验证T:X→Y,T(x1…xn)=(1…,yn)是线性算子.若用矩阵表示,则上式即 例5在C[a,b]上定义 (x))=x(s)ds, tE[a, b]: S(x)=x(s)d 则T,S分别是Ca,b上的线性算子与线性泛函 例6在C(g2)上定义的微分算子 (Dn)()=∑Ca() u(t(这 里 a0,Ca(1)在Ω上连续) 都是线性算子 现在让我们回到本节开头所说的问题.一个度量空间可能不是完备的,那么是否可以补 充某些元素使之成为完备空间呢?我们将证明这样的完备化定理是成立的.为此需要下面概 念 定义5(1)设X,Y是度量空间,称X与Y彼此同构,若存在一一的到上的映射1 2 1 2 T(αx + βx ) =αTx + βTx . （2）当Y =Φ 时，（1）中的线性算子T 称为 X 上的线性泛函． 关于映射（算子），以下事实应该注意： 1°对于T : X →Y ，我们记 R(T) = T(X ) ．则可以验证 R(T) 是Y 的线性子空间，称 R(T) 是T 的值空间．若 R(T) = Y ，称T 是到上的（满射）．若对于任何 , ( ) Tx1 Tx2 ∈ R T ，由Tx1 = Tx2 可推出 1 2 x = x ，则称T 是一一的（单射）．既是满射又是单射的映射又称为双射． 2°若T 是线性的，则T0 = 0．记 N(T) = {x∈ X;Tx = 0}，容易验证 N(T)是 X 的线性子 空间并且T 是一一的当且仅当 N(T) = {0} ．称 N(T)是T 的 0 空间． 3°对于线性算子T ，若T 是一一映射，则对于每个 y ∈ R(T) ，T y −1 是 X 中惟一的元 素．此时称映射T R T → X − : ( ) 1 ，（其中Tx = y 时令T y = x −1 ）是T 的逆映射．容易验证此时 −1 T 也是线性算子． 线性算子与线性泛函在代数、几何和经典分析中是经常遇到的, 现举例如下． 例 4 设 n X =Φ ， m Y =Φ ．对于每个 m×n 阶矩阵 ( )ij A = a ，定义 ∑= = n i j ji i y a x 1 ， j =1,",m （4） 容易验证T : X →Y ， ( , , ) ( , , ) 1 n 1 m T x " x = y " y 是线性算子．若用矩阵表示，则上式即                     =           m mn n n m x x a a a a y y # " # # # " # 1 1 1 11 1 , , , , . 例 5 在C[a,b] 上定义 ∫ = t a (Tx)(t) x(s)ds ，t ∈[a,b]； ∫ = b a S(x) x(s)ds ； 则T ， S 分别是C[a,b] 上的线性算子与线性泛函． 例 6 在 ( ) ( ) Ω k C 上定义的微分算子 α α α α t u t Du t C t k ∂ ∂ = ∑≤ ( ) ( )( ) ( ) | | （这里 u t u t = ∂ ∂ 0 0 ( ) ，C (t) α 在Ω 上连续） 都是线性算子． 现在让我们回到本节开头所说的问题．一个度量空间可能不是完备的，那么是否可以补 充某些元素使之成为完备空间呢? 我们将证明这样的完备化定理是成立的．为此需要下面概 念． 定义 5 （1）设 X ，Y 是度量空间，称 X 与Y 彼此同构，若存在一一的到上的映射