定理，知至少存在一点5e(⑤，5)，使得g'(5)=0,这与题设gx)≠0矛盾，从而得证。 (2)令ox)=fxg'(x)-f(x)g(x),则pa)=b)=0.对9x)在区间[a,b1上应用罗 尔定理，知至少存在一点5∈(a,b),使得()=0，即 f50g'(59-f"(59g(5)=0. 又因gx)≠0，x∈(a,b),故g⑤≠0，又因为gx)≠0，所以g(⑤≠0，因此有 但=但.证毕 g(5)g(⑤) 例8险证播或四-任：8 x≤0 在-1，上拉格朗日中值定理的正确性。 分析此题主要考查拉格朗日中值定理的条件是否满足· 解因为m)=me产=1，)=+=1，则 f0)=f0)=f0): 故f)在x=0处连续，故f(x)在-L,匀上连续.又因为 o=0+0-g 4o=mf0+a0-f0=m+Al=1. 故f0)=1从而fx)在L,内可导.则由拉格朗日中值定理知存在∈(-l,使 f白-f(-)=f(5+), 甲9=，品。商o-化8浙=品。g得=-0e0 例9设0Ba子证期名合5ma-mP品君 a-B 此式中的ag二mB可看成函数f心)=amx在区间[B,@]上的改变量与相应自变量的改变 a-B 量之商，故可考虑用拉格朗日中值定理证明， 证明当B=a时，不等式中等号成立. 当B<a时，设fx)=tanx.由于fx)在B,0<B<a<上连续，在(B,四内可 导，利用拉格朗日中值定理得 8-g0<5 1 1 1 因为0<B<5a<所以。从面可定理，知至少存在一点 3 1 2    ( , ) ，使得 3 g ( ) 0  = ，这与题设 g x ( ) 0  矛盾，从而得证． （2）令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x g x f x g x = −   ，则   ( ) ( ) 0 a b = = ．对 ( ) x 在区间 [ , ] a b 上应用罗 尔定理，知至少存在一点  ( , ) a b ，使得  ( ) 0 = ，即 f g f g ( ) ( ) ( ) ( ) 0       − = ． 又因 g x( ) 0  ， x a b ( , ) ，故 g( ) 0   ，又因为 g x ( ) 0  ，所以 g ( ) 0   ，因此有 ( ) ( ) ( ) ( ) f f g g      =  ． 证毕． 例 8 验证函数 , 0 ( ) 1 , 0 x e x f x x x   =   +  在 1 [ 1, ] e − 上拉格朗日中值定理的正确性． 分析 此题主要考查拉格朗日中值定理的条件是否满足． 解 因为 0 0 lim ( ) lim 1 x x x f x e → → − − = = ， 0 0 lim ( ) lim(1 ) 1 x x f x x → → + + = + = ，则 f f f (0 ) (0 ) (0) − + = = ， 故 f x( ) 在 x = 0 处连续，故 f x( ) 在 1 [ 1, ] e − 上连续．又因为 0 0 (0 ) (0) 1 (0) lim lim 1 x x x f x f e f x x − −  −  →  → +  − −  = = =   ， 0 0 (0 ) (0) (1 ) 1 (0) lim lim 1 x x f x f x f x x + +  →  → +  − +  −  = = = +   ， 故 f (0) 1 = 从而 f x( ) 在 1 ( 1, ) e − 内可导．则由拉格朗日中值定理知存在   1 ( 1, ) e − 使 1 1 f f f ( ) ( 1) ( )( 1) e e − − = +   ， 即 ( ) 1 e f e   = + ，而 , 0 ( ) 1, 0 x e x f x x    =    ，所以 1 e e e  = + ，解得  = − + 1 ln(1 )e ． 例 9 设 0 2       ，证明 2 2 tan tan cos cos         − −  −  ． 分析 当   时，即证 2 2 1 tan tan 1 cos cos       −   − ． 此式中的 tan tan     − − 可看成函数 f x x ( ) tan = 在区间 [ , ]   上的改变量与相应自变量的改变 量之商，故可考虑用拉格朗日中值定理证明． 证明 当  = 时，不等式中等号成立． 当   时，设 f x x ( ) tan = ．由于 f x( ) 在 [ , ]   (0 ) 2       上连续，在 ( , )   内可 导，利用拉格朗日中值定理得 2 tan tan 1 cos      − = − ，(0 ) 2         ． 因为 0 2         ，所以 2 2 2 1 1 1 cos cos cos      ．从而可得