Bgg"Asa 1 1 注用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）证明不等式的具体做法：首先选择适 当的函数及区间，然后利用中值定理，得到一含有；的等式：其次对等式进行适当地放大或 缩小，去掉含有：的项即可. 例10设不恒为常数的函数fx)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a.b)内可导，且 fa)=fb).证明在(a,b)内至少存在一点5，使得f(>0 证法1因为f(x)不恒为常数，故至少存在一点x,e(a,b),使得fx,)≠f(a)=fb). 先设f)>f)=f),在[a,lc[a,上运用拉格朗日中值定理，于是可知存在 5e(a,)c(a,b),使得f"5)= 若f(x)<f(a)=f(b),则在[，b]c[a,上运用拉格朗日中值定理知，同样可知存在 5e.6》ca,f③-6-V->0. 综上所述，命题得证。 证法2反证法. 若不存在这样的点5，则对任意的x∈(a,b),∫'(x)s0,所以f(x)在[a,b1上单调不增， 而f(@)=fb),故fx)在[a,b上为常数，与题设矛盾.所以命题得证.证毕。 例11设函数f)在0，上可导，且 0<fx<1,f(x)-l, 证明：方程f(x)=1-x在(0，)内有唯一的实根. 分析要证方程f(x)=1-x在(0，)内有唯一的实根，实际上相当于证明函数 F(x)=f(x)+x-1 有唯一的零点，零点的存在可以根据己知用零点定理或者罗尔定理证明，唯一性可以利用反 证法或函数的单调性来证明. 证明先证存在性.令F(x)=fx)+x-1,则F(x)在0，】内连续，且 F0=/01<0,F0=f0>0. 由闭区间上连续函数的零点定理知，存在5∈(0，)，使F(5)=0,即5为方程∫x)=1-x的 实根. 唯一性（用反证法证） 若f(x)=1-x在(0，)内有两个不等实根x,本(0<x<x<),即 f(x)=1-x,f(x,)=1-x, 对f(x)在[x,x]上利用拉格朗日中值定理，至少存在一点5∈(：，x)c(0,),使得 0=)-2.0-1-2.-4. 2 2 1 tan tan 1 cos cos       −   − ， 即 2 2 tan tan cos cos         − −  −  ．证毕． 注 用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）证明不等式的具体做法：首先选择适 当的函数及区间，然后利用中值定理，得到一含有  的等式；其次对等式进行适当地放大或 缩小，去掉含有  的项即可． 例 10 设不恒为常数的函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，在开区间 ( , ) a b 内可导，且 f a f b ( ) ( ) = ．证明在 ( , ) a b 内至少存在一点  ，使得 f ( ) 0   ． 证法 1 因为 f x( ) 不恒为常数，故至少存在一点 0 x a b ( , ) ，使得 0 f x f a f b ( ) ( ) ( )  = ． 先设 0 f x f a f b ( ) ( ) ( )  = ，在 0 [ , ] [ , ] a x a b  上运用拉格朗日中值定理，于是可知存在 0    ( , ) ( , ) a x a b ，使得 0 0 1 f f x f a ( ) [ ( ) ( )] 0 x a   = −  − ． 若 0 f x f a f b ( ) ( ) ( )  = ，则在 0 [ , ] [ , ] x b a b  上运用拉格朗日中值定理知，同样可知存在 0    ( , ) ( , ) x b a b ， 0 0 1 f f b f x ( ) [ ( ) ( )] 0 b x   = −  − ． 综上所述，命题得证． 证法 2 反证法． 若不存在这样的点  ，则对任意的 x a b ( , ) ， f x ( ) 0  ，所以 f x( ) 在 [ , ] a b 上单调不增， 而 f a f b ( ) ( ) = ，故 f x( ) 在 [ , ] a b 上为常数，与题设矛盾．所以命题得证．证毕． 例11 设函数 f x( ) 在 [0,1] 上可导，且 0 ( ) 1   f x ， f x ( ) 1  − ， 证明：方程 f x( ) = −1 x 在 (0,1) 内有唯一的实根． 分析 要证方程 f x( ) = −1 x 在 (0,1) 内有唯一的实根，实际上相当于证明函数 F x f x x ( ) ( ) 1 = + − 有唯一的零点，零点的存在可以根据已知用零点定理或者罗尔定理证明，唯一性可以利用反 证法或函数的单调性来证明． 证明 先证存在性．令 F x f x x ( ) ( ) 1 = + − ，则 F x( ) 在 [0,1] 内连续，且 F f (0) (0) 1 0 = −  ， F f (1) (1) 0 =  ． 由闭区间上连续函数的零点定理知，存在  (0,1) ，使 F( ) 0  = ，即  为方程 f x( ) = −1 x 的 实根． 唯一性（用反证法证） 若 f x( ) = −1 x 在 (0,1) 内有两个不等实根 1 x ， 2 x 1 2 (0 1)    x x ，即 1 1 f x x ( ) 1 = − ， 2 2 f x x ( ) 1 = − ． 对 f x( ) 在 1 2 [ , ] x x 上利用拉格朗日中值定理，至少存在一点 1 2    ( , ) (0,1) x x ，使得 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) 1 f x f x x x f x x x x  − − − −  = = = − − − ．