这与题设条件(x)≠-1矛盾.唯一性得证.证毕. 26在上线，在n内可，且=01 证明：(1)存在5∈(0，)，使得f八5)=1-5： (2)存在两个不同的点7,5∈(0，)，使得f")f(5)=1. 证明(1)令gx)=fx)+x-1,则gx)在0，】上连续，且g0)=-1<0,g0=1>0, 保” f=f=0.l5, 5-0 f6=f0-f⑤.1-1-.s 1-E 1-5=-51 注要证在(a,b)内存在：、7，使某种关系式成立的命题，常利用两次拉格朗日中值 定理，或两次柯西中值定理，或者柯西中值定理与拉格朗日中值定理并用. 分析该极限属于。型，可用洛必达法则，根据题目的特点可用拉格朗日中值定理， 可用导数的定义，也可以将指数差化成乘积后用等价代换。 解法1用洛必达法则。 p e-g通 sin r 解法2对函数fx)=e在区间[sinx,(或[x,sinx)上使用拉格朗日中值定理可得 K-m心，其中mr<5<x或x<5<血x,当→0时，：→0，故 e'eins 归 解法3用导数的定义. 二四-m6心儿1 3一3m er-sins20 当0时 解法4-e x-sinx e'-m -1-x-sinx, 做品妈一1 例14设fx)在[a,b]上可微(0<a<b),证明：存在E∈(a,b),使得 (6-d2f5)=2fb)-fa 分析考虑将要证明的等式变为-@.但】这与题设条件 f x ( ) 1 − 矛盾．唯一性得证．证毕． 注 此题与例 6 类似． 例12 （05 研） 已知函数 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) 0 = ， f (1) 1 = ． 证明：（1）存在  (0,1) ，使得 f ( ) 1   = − ； （2）存在两个不同的点  ， (0,1) ，使得 f f   ( ) ( ) 1   = ． 证明 （1）令 g x f x x ( ) ( ) 1 = + − ，则 g x( ) 在 [0,1] 上连续，且 g(0) 1 0 = −  ，g(1) 1 0 =  ， 故由零点定理知存在  (0,1) ，使得 g f ( ) ( ) 1 0    = + − = ，即 f ( ) 1   = − ． （2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在   (0, ) ，   ( ,1) ，使得 ( ) (0) 1 ( ) 0 f f f      − −  = = − ， (1) ( ) 1 (1 ) ( ) 1 1 1 f f f        − − −  = = = − − − ， 从而 1 ( ) ( ) 1 1 f f       −   = = − ．证毕． 注 要证在 ( , ) a b 内存在  、 ，使某种关系式成立的命题，常利用两次拉格朗日中值 定理，或两次柯西中值定理，或者柯西中值定理与拉格朗日中值定理并用． 例 13 求极限 sin 0 lim sin x x x e e → x x − − ． 分析 该极限属于 0 0 型，可用洛必达法则，根据题目的特点可用拉格朗日中值定理， 可用导数的定义，也可以将指数差化成乘积后用等价代换． 解法 1 用洛必达法则． sin 0 lim sin x x x e e → x x − − sin sin 2 sin 0 0 cos sin cos lim lim 1 cos sin x x x x x x x e xe e xe xe → → x x − + − = = − sin sin sin 3 sin 0 cos sin cos 2cos sin cos lim 1 cos x x x x x x e xe x xe x xe xe → x + + + − = = ． 解法 2 对函数 ( ) x f x e = 在区间 [sin , ] x x （或 [ ,sin ] x x ）上使用拉格朗日中值定理可得 sin sin x x e e e x x −  = − ，其中 sin x x    或 x x    sin ．当 x → 0 时，  → 0 ，故 sin 0 lim sin x x x e e → x x − − 0 lim 1 e   → = = ． 解法 3 用导数的定义． sin 0 lim sin x x x e e → x x − − sin 0 sin 0 sin 0 0 lim lim sin 0 sin 0 x x x x x x x e e e e e x x x x − − → → − − = = − − − − 0 0 0 lim ( ) | 1 0 u u u u e e e u = → − = = =  − ． 解法 4 sin sin sin 1 sin sin x x x x e e ex e x x x x − − − = − − ，当 x → 0 时， sin 1 sin x x e x x − − − ， 故 sin 0 lim sin x x x e e → x x − − sin sin 0 1 lim sin x x x x e e x x − → − = − 0 sin lim 1 x sin x x → x x − = = − ． 例 14 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上可微 (0 )   a b ，证明：存在  ( , ) a b ，使得 2 2 ( ) ( ) b a f −   = − 2 [ ( ) ( )]  f b f a ． 分析 考虑将要证明的等式变为 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f b a   −  = −