则用柯西中值定理证明：也可将要证明的等式变形为 [62-a2)fx)-x2fb)-fal=0, 则可用罗尔定理来证明。 运法1只要男0： 易知fx)和g(x)=x2在[a,b上满足柯西中值定理的条件，故存在E∈(a,b),使 证法2只要证明【6-a)fx)-rfb)-fal=0 令Fx)=(6-d)fx)-x2Ub)-fa,F(x)在[a,b可导，且 F(a)=bf(a)-aif(b)=F(b), 由罗尔定理知，至少存在一点5∈(a,),使F()=0,即 (62-d2)f"(5)=21fb)-fa】.证毕. 错误证明要证的结论可政写成份二@.是.对面数和公=在区间 [a,b)上分别使用拉格朗日中值定理，存在E∈(a,b),使 fb)-fa)=f5b-a,62-d2=25b-a, 于是f-f@.f⑤ b-a㎡225 错解分析以上证法错在认为fx)和g(x)=x分别使用拉格朗日中值定理所得的舌 是同一值，实际上这两个5不一定相同， 制如，取/=，田在0，)内使了四-0=G0-0)成立的点是气=万 g(x)=2在(0.)内使g0-g10)=g'(51-0)成立的点是5=：而使柯西中值公式 细得密立的点是后-号 例15把函数fx)=x展成带佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式. 分析将函数展成阶泰勒公式或者麦克劳林公式，通常有直接法和间接法两种方法， 一般用间接法较为简单. 解法1直接法 f)=e, f0)=0. f(x)=-x-e, f0)=1. 则用柯西中值定理证明；也可将要证明的等式变形为 2 2 2 [( ) ( ) ( ( ) ( ))] 0 x b a f x x f b f a = − − − =  ， 则可用罗尔定理来证明． 证法 1 只要证明 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f b a   −  = − ， 易知 f x( ) 和 2 g x x ( ) = 在 [ , ] a b 上满足柯西中值定理的条件，故存在  ( , ) a b ，使 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f b a   −  = − ． 证法 2 只要证明 2 2 2 [( ) ( ) ( ( ) ( ))] 0 x b a f x x f b f a = − − − =  ． 令 2 2 2 F x b a f x x f b f a ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) = − − − ， F x( ) 在 [ , ] a b 可导，且 2 2 F a b f a a f b F b ( ) ( ) ( ) ( ) =−= ， 由罗尔定理知，至少存在一点  ( , ) a b ，使 F( ) 0  = ，即 2 2 ( ) ( ) b a f −   = − 2 [ ( ) ( )]  f b f a ．证毕． 错误证明 要证的结论可改写成 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f b a   −  = − ．对函数 f x( ) 和 2 g x x ( ) = 在区间 [ , ] a b 上分别使用拉格朗日中值定理，存在  ( , ) a b ，使 f b f a f b a ( ) ( ) ( )( ) − = −   ， 2 2 b a b a − = − 2 ( )  ， 于是 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f b a   −  = − ． 错解分析 以上证法错在认为 f x( ) 和 2 g x( ) = x 分别使用拉格朗日中值定理所得的  是同一值，实际上这两个  不一定相同． 例如，取 3 f x x ( ) = ， f x( ) 在 (0,1) 内使 1 f f f (1) (0) ( )(1 0) − = −   成立的点是 1 1 3  = ； 2 g x x ( ) = 在 (0,1) 内使 2 g g g (1) (0) ( )(1 0) − = −   成立的点是 2 1 2  = ；而使柯西中值公式 3 3 (1) (0) ( ) (1) (0) ( ) f f f g g g   −  = −  成立的点是 3 2 3  = ． 例 15 把函数 ( ) x f x xe− = 展成带佩亚诺余项的 n 阶麦克劳林公式． 分析 将函数展成 n 阶泰勒公式或者麦克劳林公式，通常有直接法和间接法两种方法， 一般用间接法较为简单． 解法 1 直接法 ( ) x f x xe− = ， f (0) 0 = ． ( ) ( 1) x f x x e−  = − − ， f (0) 1 = ．