f"气(x)=(-1x-2e，"0)=-2. f"(x)=(-10x-3e3,"0)=3. f(x)=(-I)"(x-m)e, f(0)=(-1y-In 所以fx)的n阶麦克劳林公式为 x" 解法2间接法 在e的带佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式中，以-x代x,得 3 上式两同乘以，有-云+号苦+r行.因为 no().x 0, 故气y若)=4从面 =号-+r*e 务6细学子 分析该极限属于。型，如果用洛必达法则来求解将会比较复杂，根据题目的特点可 考虑利用cosx,e的泰勒公式 解因为 1-号+r+到号若a的 x x+o) 2 注1此题属。型的不定式，可以利用洛必达法则，读者不妨一试，并与上述解法比较 一下孰优孰劣2 ( ) ( 1) ( 2) x f x x e−  = − − ， f (0) 2 = − ． 3 ( ) ( 1) ( 3) x f x x e−  = − − ， f (0) 3 = ． ( ) ( ) ( 1) ( ) n n x f x x n e− = − − ， ( ) 1 (0) ( 1) n n f n − = − ． 所以 f x( ) 的 n 阶麦克劳林公式为 2 3 4 1 ( 1) ( ) 1! 2! 3! ( 1)! n x n n x x x x xe x o x n − − = − + − + + − + − ． 解法 2 间接法 在 x e 的带佩亚诺余项的 n 阶麦克劳林公式中，以−x 代 x ，得 2 3 1 ( 1) ( ) 2! 3! ! n x n n x x x e x o x n − = − + − + + − + ． 上式两端同乘以 x ，有 2 3 4 1 ( 1) ( ) 1! 2! 3! ! n x n n x x x x xe x x o x n + − = − + − + + − +  ．因为 1 0 ( 1) ( ) ! lim 0 n n n n x x o x x n x + → − +  = ， 故 1 ( 1) ( ) ( ) ! n n n n x o x x o x n + − +  = ，从而 2 3 4 1 ( 1) ( ) 1! 2! 3! ( 1)! n x n n x x x x xe x o x n − − = − + − + + − + − ． 例 16 求 2 2 4 0 cos lim x x x e x − → − ． 分析 该极限属于 0 0 型，如果用洛必达法则来求解将会比较复杂，根据题目的特点可 考虑利用 cos x， x e 的泰勒公式． 解 因为 2 4 4 cos 1 ( ) 2! 4! x x x o x = − + + ， 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 4 1 ( ) (( ) ) 1 ( ) 2 2! 2 2 2 8 x x x x x x e o o x − = − + − + − = − + + ， 2 2 4 0 cos lim x x x e x − → − 2 4 2 4 4 4 4 0 1 ( ) [1 ( )] 2! 4! 2 8 lim x x x x x o x o x → x − + + − − + + = 4 4 4 0 1 ( ) 12 1 lim x 12 x o x → x − + = = − ． 注 1 此题属 0 0 型的不定式，可以利用洛必达法则，读者不妨一试，并与上述解法比较 一下孰优孰劣．