a-u +3y=-1+3 r/ 所以 a21 0 即=1为R21(09上的调和函数。 14.设u(x,y)在R2上具有二阶连续偏导数,证明u是调和函数的充要条 件为:对于R中任意光滑封闭曲线C,成立d=0,为沿C的 外法线方向的方向导数。 证必要性。设C是R2中任意光滑封闭曲线,由 Ou a,cos(n, x)+cos(n, y)=cos(t, y)-Ou cos(t, x) an ax ax 其中n、分别是曲线C上点(x,y)处的单位外法向和单位切向,得到 由gren公式,得到 au a2u ddy=0。 充分性。如果存在点M(x0),使得83u(x,1).a2uxy)≠0, 不妨设其大于零。由于u(x,y)具有二阶连续偏导数,所以存在δ>0, 使得在D=O(M0,)上,成立 a2u a2u Ox a 于是 ds dxdy>0 与条件矛盾,所以u是调和函数。 15.设u=u(x,y)与v=v(x,y)都为平面上的调和函数。令F=√m2+y2。证 明当p≥2时,在F≠0的点成立 (FP)≥0 证由 P Fp-Iu+Wx=PFP-2(uux +vv,)2 3 u 1 y y r r r ∂ = − = − ∂ y ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u y y y r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 y ， 2 3 u z 1 z r r r ∂ = − = − ∂ z ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u z z z r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 z 所以 3 0 3 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = + + = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r x y z z r u y u x u ， 即 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 14.设u( , x y)在 2 R 上具有二阶连续偏导数，证明 是调和函数的充要条 件为：对于 u 2 R 中任意光滑封闭曲线C ，成立 = 0 ∂ ∂ ∫ C ds n u ， n u ∂ ∂ 为沿C 的 外法线方向的方向导数。 证 必要性。设C 是 2 R 中任意光滑封闭曲线，由 cos( , ) cos( , y) y u x x u u n n ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n cos( , ) cos( , x) y u y x u τ τ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ， 其中n、τ分别是曲线C 上点(x, y)处的单位外法向和单位切向，得到 ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ C C dx y u dy x u ds u n 。 由 green 公式，得到 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 = 0。 充分性。如果存在点M 0 (x0 , y0 ) ，使得 0 ( , ) ( , ) 2 0 0 2 2 0 0 2 ≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x y x u x y ， 不妨设其大于零。由于u( , x y)具有二阶连续偏导数，所以存在δ > 0， 使得在 ( , ) D = O M0 δ 上，成立 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ > 0， 于是 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 > 0， 与条件矛盾，所以u是调和函数。 15.设u u = ( , x y)与v v = ( , x y)都为平面上的调和函数。令 2 2 F = u + v 。证 明当 p ≥ 2时，在 F ≠ 0的点成立 ∆( ) F p ≥ 0。 证 由 ( ) 1 2 x x p x x p p pF uu vv F uu vv pF x F = + + = ∂ ∂ − − 7