和 l.+11 得到 =p(p-2)FP4( 和 a2=p(P-2)F(a,+w,)2+pF"(a2+y2、x+wn), 所以 △(FP) p(P-2)F"(mx+wx)2+(mn+w,)2]+pF2(n2+n2+n2+v2)≥0。 16.设B={(x,y,)x2+y2+x2≤1},F(x,y,):R3→R3为具有连续导数的 向量值函数,且满足 Fa=(00),VFB=0 证明:对于任何R3上具有连续偏导数的函数g(x,y,)成立 ∫jvg:Fot=0 证由v(gF)=VgF+gV.F及 Gauss公式,得到 ∫ Vg. Fdxdy=v(gFoh-vtd gF·dS fardd==0 最后一个等式利用了条件到n=(000),VFn=0。 17.设D={(x,y)∈R2x2+y2<l},u(x,y)在D上具有连续二阶偏导数。进 一步,设u在D上不恒等于零,但在D的边界aD上恒为零,且在D 上成立 a-u a-u An(元为常数 证明 adu dxdy+a [ju-dxdy 证由gren公式, t dy )-+(-)2+l( Oy ay 由于在D上uxy)恒为零,所以[-t+n=0,另一方面,在D和 1 2 ( ) p p p y y y y F uu vv pF pF uu y F − − ∂ + = = ∂ + vv ， 得到 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 x x xx xx p x x p p p p F uu vv pF u v uu vv x F = − + + + + + ∂ ∂ − − 和 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 y y yy yy p y y p p p p F uu vv pF u v uu vv y F = − + + + + + ∂ ∂ − − ， 所以 ∆( ) = p F p( p − 2)F p−4 [(uux + vvx ) 2 + (uuy + vvy ) 2 ] + pF p−2 (ux 2 + vx 2 + u 2 y + v 2 y ) ≥ 0。 16.设 ， ： 为具有连续导数的 向量值函数，且满足 {( , , ) | 1} 2 2 2 B = x y z x + y + z ≤ F(x, y,z) 3 3 R → R ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 证明：对于任何 3 R 上具有连续偏导数的函数 g(x, y,z)成立 ∇ ⋅ = 0 ∫∫∫ g dxdydz B F 。 证 由∇ ⋅(gF) = ∇g ⋅F + g∇ ⋅F 及 Gauss 公式，得到 ∇ ⋅ = ∫∫∫ g dxdydz B F ∇ ⋅ − ∫∫∫ g dxdydz B ( F) g dxdydz ∫∫∫ ∇ ⋅ B F = g ⋅ dS ∫∫ ∂B F g dxdydz ∫∫∫ − ∇ ⋅ B F = 0， 最后一个等式利用了条件 ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 17.设D ={(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 1}，u(x, y)在D上具有连续二阶偏导数。进 一步，设u在D上不恒等于零，但在D的边界∂D上恒为零，且在 上成立 D u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 （λ 为常数）。 证明 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 证 由 green 公式， D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ dxdy y u x u u y u x u D ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 。 由于在∂D上u(x, y)恒为零，所以 D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ = 0，另一方面，在D 8