上成2un 所以 ∫(c)2+()2+n2ad=0, 即 ∫| grad ul dxdy+ afu'dxdy=0。 18.设区域Ω由分片光滑封闭曲面Σ所围成,(x,y,)在g上具有二阶 连续偏导数,且在Ω上调和,即满足 a2u au a -=0 (1)证明 dS=0 其中n为Σ的单位外法向量: (2)设(xn,yo,=0)∈9为一定点,证明 xo,yo,20)-4π23 on 其中r=(x-x,y-ya,z-z0),r=rl。 证(1)设n=(cosa,cos,cosy),由方向导数的计算公式及 Gauss公式, 得到 ds=l(cosa+ cos B+cosy)ds ut )dxdydx=0 (2)由于cos(r,n)= r·n √=(gadm)n,于是 4z从<s/mJnh+Q在h+Rh, 其中P=(x=M0+7吵,9=3-m+r2n R 0)+r-2 经计算得到 aP ax r3 uL上成立 u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 ，所以 ( ) ( ) 0 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫∫ u dxdy y u x u D λ ， 即 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 18.设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成，u(x, y,z) 在Ω 上具有二阶 连续偏导数，且在Ω上调和，即满足 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 （1）证明 = 0 ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ， 其中n为Σ 的单位外法向量； （2）设(x0 , y0 ,z0 ) ∈Ω 为一定点，证明 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π ， 其中 ( , , ) 0 0 0 r = x − x y − y z − z ，r =| r |。 证（1）设n = (cosα, cos β, cos γ ) ，由方向导数的计算公式及 Gauss 公式， 得到 ∫∫ ∫∫ Σ Σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ dS z u y u x u dS n u ( cosα cos β cosγ ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z u y u x u 。 （2）由于 r r ⋅ n cos(r,n) = ， = ⋅ n ∂ ∂ (gradu) n u ，于是 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫∫ + Σ dS n u r r u cos( , ) 1 4 1 2 r n π ∫∫ Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 4π 1 ， 其中 3 2 0 ( ) r x x u r u P − + x = ， 3 2 0 ( ) r y y u r u Q − + y = ， 3 2 0 ( ) r z z u r u R − + z = 。 经计算得到 r u u r x x r u x P xx + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， r u u r y y r u y Q yy + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 9