所以 0。 Cx ay az 现在取一个以(x0,y0,=0)为中心,δ>0为半径的球面S,使得 S。cg,并设n为S0的单位外法向量,然后在Σ与S所围的区域g上 应用 Gauss公式,得到 cos(r, n),I Ou les_1 从而 cos(r, n) 1 au dS cos(r,n n)1adS。 r on 注意r=为常数,cos(r,n)=1与∫S=0,则 cos(r, n) 1 au r on 4n82J2(x,y,=)dS, 利用积分中值定理并令δ→0,即得 (x0,y0,=0) s(r, n) 1 ar u u r z z r u z R zz + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 所以 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 现在取一个以(x0 , y0 ,z0 )为中心，δ > 0为半径的球面S0，使得 S0 ⊂ Ω，并设n 为S0的单位外法向量，然后在Σ 与 所围的区域 上 应用 Gauss 公式，得到 S0 Ω′ 0 2 ( ) 1 cos( , ) 1 1 ( ) 4 4 S u P Q R u dS dx π π r r n x y z Σ+ − Ω′ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = + + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫∫ r n dydz = 0， 从而 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n 0 2 1 cos( , ) 1 4 S u u d π r r n ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n S 。 注意r = δ 为常数，cos(r n, ) =1与 0 0 = ∂ ∂ ∫∫ dS n u S ，则 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n ∫∫ = 0 ( , , ) 4 1 2 S u x y z dS πδ ， 利用积分中值定理并令δ → 0，即得 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π 。 10