0 0 0. 0,x=0 8.设∫(x)在x=0处可导,在什么情况下,|f(x)在x=0处也可导? 9.设∫(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·∫(b)>0,证明f(x)在(a,b) 至少存在一个零点。 10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导, (1)若Iimf(x)=∞,那么能否断定也有limf'(x)=∞? (2)若limf(x)=∞,那么能否断定也有limf(x)=∞? 1l.设函数∫(x)满足f(0)=0。证明∫(x)在x=0处可导的充分必要条件是:存在在x=0 处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成立∫(O)=g(0)。 用定义证明(cosx)=-sinx。 2.证明 (1)(csc x)=-cot x cscx (2)(cot x)=-cSc x: (3)(arccos x) (4)(arc cot x)= (5)(ch-1xyJx2-I, (6)(thx)=(cthx)’= 3.求下列函数的导函数: ()f(x)=3sin x+ Inx (2) f(x)=xcos x+x+3 (3)f(x)=(x2+7x-5)sinx: (4)f(x)=x(3 tan x+2sec x) sinx+x-2 (5)f(x)=e sin x-4 cos x+ 2 In (7)f(x)= (8)f(x)= x+ cOs x⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 8． 设 f x( )在 x = 0 处可导，在什么情况下，| ( f x)| 在 x = 0 处也可导？ 9．设 f x( )在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f (x) a b) 10．设 f x( )在有限区间( , a b) 内可导， ⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ 0 ？ ⑵ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + ′ = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + = ∞ 0 ？ 11．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 。证明 f (x) 在 x = 0处可导的充分必要条件是：存在在 处连续的函数 ，使得 x = 0 g(x) f (x) = xg(x) ，且此时成立 f ′(0) = g(0) 。 习 题 4.3 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f x( ) = + 3sin x ln x − x ； ⑵ f x( ) = x cos x + x +2 3 ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； 2