所以l1=v()=2,知C≈1 p()=J(1+1)3+C)m=」(2+(3+C1)+C3+(+Ct+C2,由 (1)=,知C2=2,于是v()=r3+2+(--3)+2(t>-1).…(15分) 四(本题共15分)、设an>0,S,=∑a,证明: (1)当ax1时,级数∑二收敛 (2)当as1,且Sn→∞(n→∞)时,级数∑发散 证明令f(x)=x,x∈[Sn1,Sn].将f(x)在区间[Sn1,Sn]上用拉格朗日中值定 理 存在5∈(Sn-1,Sn) f(Sm)-f(Sn-=f((S-s-i) 即Sna-Sm=(1-a)a (5分) (1)当a>1时, Sa-sa=(a-1)g2(a-1)n·显然 的 前n项和有界,从而收敛,所以级数∑收敛 (8分) (2)当a=1时,因为an>0,Sn单调递增,所以 k=n+ SK S p k=n+ 因为S→+对任意n,当p∈NSn<1,从而>≥1.所以级数 ∑发散 (12分) 当a<1时,≥.由∑发散及比较判别法,∑红发散…(15分)所以 1 2 (1) t u e ψ = = = ′ ，知 3 1 1 −= e C . ∫ ∫ ++ + +=+++=++= 21 3 1 2 11 2 1 2 3 ))3(3()3)(1()( CtCt C ψ tdtCtCtdtCttt ，由 2e 3 ψ )1( = ，知 ，于是 2 C2 = 3 2 1 1 ( ) ( 3) 2 ( 1) 2 tt t t t e e ψ = + + − + >− .…（15 分） 四（本题共 15 分）、设 1 0, n n n k a S = > = k ∑a ，证明： （1）当α >1时，级数 1 n n n a Sα +∞ = ∑ 收敛； （2）当α ≤ 1，且Sn → ∞ （n → ∞ ）时，级数 1 n n n a Sα +∞ = ∑ 发散. 证明 令 1 1 () , [ , ] n n f x x xSS −α = ∈ − . 将 f ( ) x 在区间 上用拉格朗日中值定 理， 1 [ , n n S S − ] 存在 ) 1 ( , n n ξ S S ∈ − 1 1 ( ) ( ) ( )( ) n n nn f S fS f S S ξ − − −= − ′ 即                                   S S n n 1 1 −− − αα α − =− −1 (1 ) α ξ an ………………（5 分） （1）当α >1时， 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) n n n n a a S S Sn α α α α α ξ − − − − =− ≥− α . 显然 1 1 1 1 1 n n S S α α − − − ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ⎩ ⎭ 的 前 n 项和有界，从而收敛，所以级数 1 n n n a Sα +∞ = ∑ 收敛.            ……………（8 分） （2）当α =1时，因为an > 0， Sn 单调递增，所以 1 1 1 1 n p n p k n np n k k n k np k n np n a S S S a SS S S + + + = + + = + + + p − ∑ ∑ ≥ = =− 因为 对任意 Sn → +∞ n，当 p ∈ ` 1 2 n n p S S + < ，从而 1 1 2 n p k k n k a S + = + ∑ ≥ . 所以级数 1 n n n a Sα +∞ = ∑ 发散.                                        ………………（12 分） 当α <1时， n n n a a S S α ≥ n . 由 1 n n n a S +∞ = ∑ 发散及比较判别法， 1 n n n a Sα +∞ = ∑ 发散.………（15 分） 5