五(本题共15分)、设l是过原点,方向为(a,B,)(其中a2+B2+72=1)的直 线,均匀椭球++≤1(其中0<c<b≤a,密度为1)绕l旋转 (1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(α,③)的最大值和最小值 解(1)设旋转轴l的方向向量为l=(a,B,),椭球内任意一点P(xy)的径向量 为r,则点P到旋转轴l的距离的平方为 d2=r2-(r1)=(-a2)x2+(1-2)y2+(1-2)=2-2a-2/yz-2ax 由积分区域的对称性可知 (2分) 而/x2adhd=|x2dx dydz (oX x'dxdydx= de do a'r2sin2y cos20abcr2sin pdr= 4a3bc丌 15 abcs, z dyde …(5分) 由转到惯量的定义 J d-dxdyd= ls(-ak2+(1-)b+(-?2)c 分) (2)考虑目标函数V(a,B,)=(1-a2)a2+(1-B2)b2+(1-2)c2在约束 a2+82+n2=1下的条件极值 设拉格朗日函数为 L(a,B,,)=(1-a2)a2+(1-B2)b2+(1-12)c2+X(a2+B2+2-1) (8分) 令Ln=2(-a)=0,L=26(入-b2)=0,L1=2(入-c2)=0, B2+y2-1=0五（本题共 15 分）、设 l 是过原点，方向为( , （其中 ）的直 线，均匀椭球 αβγ, ) 222 αβγ ++=1 2 22 222 1 xyz abc + + ≤ （其中 0 < c < b < a ，密度为 1）绕 l 旋转. (1) 求其转动惯量；(2) 求其转动惯量关于方向( , αβγ, ) 的最大值和最小值. 解    (1) 设旋转轴 l 的方向向量为 ，椭球内任意一点 P(x,y,z)的径向量 为 ，则点 P 到旋转轴 l 的距离的平方为 l = (,,) αβγ r ( )2 2 2 22 2 2 22 d = r rl − ⋅ = (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 −α β γ αβ βγ α x y z xy yz xz + − + −− − − γ 由积分区域的对称性可知 (2 2 2 ) 0 αβ βγ αγ xy yz xz dxdydz Ω ∫∫∫ ++ = ，其中 2 22 222 (, ,) 1 xyz xyz abc ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ Ω= ++ ⎨ ⎬ ≤ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ………………（2 分） 而 22 2 22 2 2 3 2 2 2 2 1 4 1 15 a a yz x a a bc a x a bc x dxdydz x dx dydz x bc dx a π π + ≤ − Ω − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⋅ −⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫     （或 2 1 3 2 2 2 2 2 2 00 0 4 sin cos sin 15 a bc x dxdydz d d a r abcr dr π π π θϕ ϕ θ ϕ Ω ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ = ） 3 2 4 15 ab c y dxdydz π Ω ∫∫∫ = ， 3 2 4 15 abc z dxdydz π Ω ∫∫∫ =              ……………（5 分） 由转到惯量的定义 ( ) 2 2 4 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 15 l abc J d dxdydz a b c π αβγ Ω = = ∫∫∫ − + − + − 2 2 c ……………（6 分） (2) 考虑目标函数    在约束     下的条件极值. 2 2 22 22 V ab ( , , ) (1 ) (1 ) (1 ) αβγ α β γ = − + − + − 222 αβγ ++=1 设拉格朗日函数为 2 2 22 22 2 2 2 L abc ( , , , ) (1 ) (1 ) (1 ) ( αβγλ α β γ λα β γ = − + − + − + ++ −1)     …………………（8 分） 令 ， ， ， 2 L a 2( ) 0 α = α λ− = 2 L b 2( ) 0 β = β λ− = 2 L c 2( ) 0 γ = γ λ− = 222 L 1 0 λ =++ αβγ − = 6