若Im=+∞,则当n充分大时有x>yn,所以当∑发散时 ∑xn必定发散,当∑x收敛时∑y必定收敛。 7.设正项级数∑xn收敛,则∑x也收敛;反之如何? 解设正项级数∑x收敛,则imx=0,所以当n充分大时有0≤xn<1 即有x2≤xn,因此∑x2收敛:反之,当∑x2收敛时,∑x不一定收敛, 例如x=,则∑x收敛,但∑x发散 8.设正项级数∑x收敛,则当p>时,级数∑收敛:又问当 0<ps1时,结论是否仍然成立? 解设正项级数∑x收敛。当p>时,由 以及∑x与1的收敛性,可知∑业收敛 当0<P≤时,∑y不一定收敛。例如x= nIna n 则∑xn收敛, 但∑业发散。 9.设f(x)在[1+∞)上单调增加,且limf(x)=A。 (1)证明级数∑U(n+1)-f(m收敛,并求其和; (2)进一步设f(x)在1+∞)上二阶可导,且f"(x)<0,证明级数 f(m)收敛 证(1)级数∑U(n+1)-f(m的部分和为Sn=f(n+1)-f(1),由 imf(x)=A得到S= lim s=A-f();若 lim n→∞ n n y x = + ∞ ，则当 充分大时有 ，所以当 发散时 必定发散，当 收敛时 必定收敛。 n n n x > y ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 7. 设正项级数∑ 收敛，则 也收敛；反之如何? ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 n n x 解 设正项级数∑ 收敛，则 ∞ n=1 n x lim = 0 →∞ n n x ，所以当 充分大时有 ， 即有 ，因此 收敛；反之，当 收敛时，∑ 不一定收敛， 例如 n 0 ≤ xn < 1 n n x ≤ x 2 ∑ ∞ =1 2 n n x ∑ ∞ =1 2 n n x ∞ n=1 n x n xn 1 = ，则∑ 收敛，但 发散。 ∞ =1 2 n n x ∑ ∞ n=1 n x 8. 设正项级数 ∑ 收敛，则当 ∞ n=1 n x 2 1 p > 时，级数 ∑ ∞ n=1 p n n x 收敛；又问当 2 1 0 < p ≤ 时，结论是否仍然成立? 解 设正项级数∑ 收敛。当 ∞ n=1 n x 2 1 p > 时，由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ + p n p n n x n x 2 1 2 1 以及∑ 与 ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 1 n p n 的收敛性，可知∑ ∞ n=1 p n n x 收敛。 当 2 1 0 < p ≤ 时，∑ ∞ n=1 p n n x 不一定收敛。例如 n n xn 2 ln 1 = ，则 收敛， 但 ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 p n n x 发散。 9．设 f (x)在[1,+∞)上单调增加，且 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 （1）证明级数∑ 收敛，并求其和； ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n （2）进一步设 f (x) 在[1,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) < 0 ，证明级数 ∑ 收敛。 ∞ = ′ 1 ( ) n f n 证 (1) 级 数 ∑ 的部分和为 ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n S f (n 1) f (1) n = + − ， 由 f x A得到 x = →+∞ lim ( ) S lim S A f (1) n n = = − →∞ ； 6