(2)由 Lagrange中值定理以及∫(x)单调减少,得到 0≤f"(m)<f()=f(m)-f(m-1) 由∑Uf(n)-f(-1收敛,即得到∑f(n)收敛 10.设 1,2 (1)求级数∑“的和; n (2)设>0,证明级数∑一收敛 tE (1)a,+an+2=J tan" xdx+0 tan"xdr=5" tanx= 于是 n(n+1) (2)由an>0及a 可知 1<1,于是 n+1 n 由于∑1收敛,可知∑收敛 11.设x>0, (n=1,2,…),证明∑xn发散 证由xn>0, 得到 (n-1) 即数列{xn}单调增加。于是存在a>0,使得mxnm1≥a,因而 由∑发散即可知∑,发散 12.设正项级数∑xn发散(xn>0,n=12…),证明必存在发散的正(2) 由 Lagrange 中值定理以及 f '(x)单调减少，得到 0 ≤ f '(n) < f '(ξ ) = f (n) − f (n −1) ， 由 ∑ 收敛，即得到 收敛。 ∞ = − − 2 [ ( ) ( 1)] n f n f n ∑ ∞ = ′ 1 ( ) n f n 10．设 ∫ = 4 0 tan π a xdx n n ，n = 1,2,"。 （1）求级数∑ ∞ = + + 1 2 n n n n a a 的和； （2）设λ > 0，证明级数∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 证 （1）an + an+2 = ∫ 4 0 tan π xdx n ∫ + + 4 0 2 tan π xdx n = ∫ 4 0 tan tan π xd x n 1 1 + = n ， 于是 ∑ ∞ = + + 1 2 n n n n a a 1 ( 1) 1 1 = + = ∑ ∞ n= n n ； （2）由an > 0 及an + an+2 = 1 1 n + ，可知an n n 1 1 1 < + < ，于是 λ +λ < 1 1 n n an ， 由于 ∑ ∞ = + 1 1 1 n n λ 收敛，可知∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 11. 设 xn ＞0， n n x x +1 ＞ n 1 1− (n = 1,2,…)，证明∑ 发散。 ∞ n=1 n x 证 由 xn ＞0， n n x x +1 ＞ n 1 1− ，得到 1 ( 1) − n < nxn+ n x ， 即数列{nxn+1}单调增加。于是存在α > 0 , 使得nxn+1 ≥ α ，因而 n xn α +1 > 。 由 ∑ ∞ n=1 n α 发散即可知∑ 发散。 ∞ n=1 n x 12．设正项级数∑ 发散（ ， ∞ n=1 n x xn > 0 n = 1,2,"），证明必存在发散的正 7