项级数∑yn,使得lmy=0。 证设Sn=∑xk,则lmSn=+。令 (n=2,34,…), 于是∑y=√Sn,即∑y是发散的正项级数,且 lim in= lim lim 77->00 x 13.设正项级数∑x发散,Sn=∑x’证明级数∑女收敛。 证由Sn≥Sn1,可知 由此得到=2-3。由lmS=+,得到 14.设{a}为 Fibonacci数列。证明级数∑收敛,并求其和 解首先 Fibonacci数列具有性质an1=an+an1与m2am=5+1k<2 (见例244)。设x a lim n+L n-o xn 4 由 D'Alembert判别法可知级数∑收敛 设S=∑血,则2S=∑am,两式相加得到项级数∑ ，使得 ∞ n=1 n y lim = 0 →∞ n n n x y 。 证 设 ∑ , 则 = = n k n k S x 1 = +∞ →∞ n n lim S 。令 1 S1 y = , n = Sn − Sn−1 y (n = 2,3,4,") ， 于是 n n k k ∑ y = S =1 ，即∑ 是发散的正项级数，且 ∞ n=1 n y = →∞ n n n x y lim = − − →∞ n n n n x S S 1 lim 0 1 lim 1 = + − →∞ n n n S S 。 13. 设正项级数∑ 发散， ，证明级数 ∞ n=1 n x ∑= = n k n k S x 1 ∑ ∞ =1 2 n n n S x 收敛。 证 由Sn ≥ Sn−1，可知 n n n n n n n n S S S S S S S x 1 1 1 1 1 2 = − − ≤ − − − ， 由此得到 n n k k k S x S x 2 1 1 1 2 ∑ = − = 。由 = +∞ →∞ n n lim S ，得到 1 1 2 2 S x x n n n ∑ = ∞ = 。 14．设{an }为 Fibonacci 数列。证明级数∑ ∞ n=1 2n an 收敛，并求其和。 解 首先 Fibonacci 数列具有性质an+1 = an + an−1与 2 2 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n a a (见例 2.4.4)。设 n n n a x 2 = ，则 1 4 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n x x ， 由 D’Alembert 判别法可知级数∑ ∞ n=1 2n n a 收敛。 设 ∑ ∞ = = n 1 2n an S , 则 ∑ ∞ = + = 0 1 2 2 n n an S , 两式相加得到 8