水木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:0106270105923785地址:清华同方科技广场B座609室 A02+b),()x21山.且对应特征向量相同(例外 (2)若,2…,为A的n个特征值,则∑4=∑a,∏=4,从而A≠0分A没有零 特征值。 (3)若A~B,则 f一B,r-B,-F2)=1∑a,=∑b,(4)=(0)3E-4=E-B 对V成立 (4)设A为n阶方阵,则A可对角化兮→对每个k重特征值入2,有n-r(,E-A)=k (5)设A可对角化,则由P-1AP=A,从而A=PAP1 (6)设A,2,…,为A的S个特征值,对应的特征向量为a12a2,…,a3,若 a=ka1+k2a2+…+k,a, Aa=k1Aa1+k24a2+…+k,Aa,=ka1+k2a2+…+k,xa, 六、二次型 重要公式与结论 (1)设A正定→k(k>0),A,A正定:4>0,A可逆:an>0,且A4>0 (2)A,B正定→A+B正定,但AB,BA不一定正定 (3)A正定ef(x)=xAx>0,vx≠0 A的各阶顺序主子式全大于零 A的所有特征值都大于零 A的正惯性指数为n 3可逆阵P使A=PP 存在正交阵O使得 其中1>0,=12,…,n A水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ( ) λ λλλλλλλ A fbak m ,,,,,,, 2 −1 + ，且对应特征向量相同（ 例外） T A （2）若 λ λ λn ,,, 21 L 为 A 的 n 个特征值，则 a A n i i n i ii n i i = ∑∑ ∏ = =1 =1 =1 λ , λ ，从而 0 ⇔≠ AA 没有零 特征值。 （3）若 A ~ B ,则 1） 2） ∗∗−− BABABA TT ~,~,~ 11 () () BAbaBA n i ii n i ii , rr, 1 1 = = ∑∑ = = = 3） λλ −=− BEAE , 对∀λ 成立。 （4）设 A 为 阶方阵，则 n A 可对角化⇔ 对每个 重特征值 i k λi ，有 ( ) i i − r λ − = kAEn 。 （5）设 A 可对角化，则由 Λ= − P AP 1 ,从而 −1 A = PΛP n 。 （ 6 ） 设 λ λ λs ,,, 21 L 为 A 的 s 个特征值，对应的特征向量为 α α α s ,,, 21 L ， 若 ss α α α 2211 L+++= kkk α ，则 s n ss n n s n s n n n AkAkA ααα 2211 L kkAk αλαλα 222111 L+++=+++= k αλ 。 六、二次型 重要公式与结论 （1）设 A 正定 ( ) ∗− >⇒ AAAkkA T ,,,0 1 正定； > ,0 AA 可逆； ，且 aii > 0 Aii > 0 。 （2） 正定 ,BA ⇒ + BA 正定，但 不一定正定。 , BAAB （3） A 正定 ( ) xAxxxf ≠∀>=⇔ 0,0 T ⇔ A 的各阶顺序主子式全大于零 ⇔ A 的所有特征值都大于零 ⇔ A 的正惯性指数为 n ∃⇔ 可逆阵 使P A P PT = ⇔ 存在正交阵Q 使得 其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == − n T AQQAQQ λ λ λ O 2 1 1 ni i λ > = L,,2,1,0 34