水木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:0106270105923785地址:清华同方科技广场B座609室 1)a1,a2,…,a1线性相关分至少有一个向量可以用其余向量线性表 2)若a1,C2,…,,线性无关,a1,C2,…,a1,B线性相关兮B可以由a1,a2,…,O,唯一线性表 3)B可以由a1,a2…a,线性表示台r(a1,a12…,a,)=r(a1,a2…,a,B) (3)有关矩阵的秩的结论: 1)秩r(4)=行秩=列秩 2)r(4m)≤min(m,n 3)A≠0→r(4)≥1 4)r(4±B)≤r(4)+r(B) 5)初等变换不改变矩 阵的秩 6)r(4)+r(B)-n≤(AB)≤min【(4)r(B),特别若AB=0,则r(4)+r(B)≤n 7)若A存在→r(AB)=r(B) 若B存在→r(AB)=r(4) 若r(Am)=n→r(AB)=r(B) 若r(Bm,)=n→r(AB)=(4) r(A4mn)=n台Ax=0只有零解 四、线性方程 重要公式与结论 (1)设A为mxn矩阵,r(Amn)=m,则对Ax=b而言必有r(4)=r(A,b)=m,从而Ax=b 有解 (2)设x12x2…xn为Ax=b的解,则kx1+k2x2+…+knxn当k1+k2+…+kn=1时仍为 Ax=b的解,但当时k+k2+…+kn=0,则为Ax=0的解 特别:2为Ax=b的解:2x3-(x+x2)为Ax=0的解。 (3)非次线性方程组Ax=b无解(小+1=r(4)b不能由A的列向量x,再2…,x线性表 (4)n阶矩阵A可逆分AxX=0只有零解。 Vb,Ax=b总有唯一解 一般地,r(4n)=n台Ax=0只有零解 五、特征值、特征向量 重要公式与结论 (1)设λ是A的一个特征值,则k,aA+bE,A2,理m,f(A)A,A!,A有一个特征值分别为水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1）α α α s ,,, 21 L 线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 ⇔ 2）若α α α s ,,, 21 L 线性无关，α α α s ,,, 21 L ，β 线性相关⇔ β 可以由α α α s ,,, 21 L 唯一线性表 示。 3） β 可以由α α α s ,,, 21 L 线性表示⇔ (α α α ) (α α α ,,,,r,,,r β ) 21 L s = 21 L s （3）有关矩阵的秩的结论： 1）秩 ＝行秩＝列秩 r( ) A 2） (A ) ( nm ) nm r × ≤ ,min ； 3） 0 ( ) ArA ≥⇒≠ 1; 4） ( ± ) ≤ ( ) + rrr (BABA ) 5)初等变换不改变矩 阵的秩 6） () () ( ) −+ ≤ ABnBA ≤ { } ( ) r,rminrrr (BA ) ，特别若 AB = 0，则 ( ) () + rr ≤ nBA 7）若 存在 若 −1 A ()( =⇒ rr BAB ) −1 B 存在⇒ ( ) = rr (AAB ) 若 r( ) ×nm ( ) ( =⇒= rr BABnA ) 若 r( sn ) = ⇒ ( ) ( = rr AABnB ) × 8） r( ) ×nm AxnA =⇔= 0 只有零解 四、线性方程组 重要公式与结论 （1）设 A 为 矩阵， × nm r( ) ×nm = mA ，则对 = bAx 而言必有 ( ) = ( ,rr ) = mbAA ，从而 有解。 = bAx （2）设 21 L,,, xxx n 为 = bAx 的解，则 nn + +L+ xkxkxk 2211 当 + 21 +L kkk n =+ 1 时仍为 = bAx 的解，但当时 21 L+++ kkk n = 0 ，则为 Ax = 0 的解。 特别： 2 21 + xx 为 = bAx 的解； ( ) 2 213 − + xxx 为 Ax = 0 的解。 （3）非其次线性方程组 无解 = bAx ( ) r1r ( )⇔=+⇔ bAA 不能由 A 的列向量 线性表 示。 n ,,, xxx 21 L （4） 阶矩阵 n A 可逆⇔ Ax = 0 只有零解。 ⇔ ∀ , = bAxb 总有唯一解。 一般地， r( ) ×nm = ⇔ AxnA = 0 只有零解。 五、特征值、特征向量 重要公式与结论 （1）设 λ 是 A 的一个特征值，则 ( ) ∗− + AAAAfAAbEaAkA m T ,,,,,,, 2 1 有一个特征值分别为 33