木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (2)有关A的结论 )A=AA=4E2)r2矿=k(r)和m≥3 3)若A可迎,则x-4-(rr=4 4)若A为n阶方阵,则 )=1(4)=n- ,( (3)有关A的结论 (4)分块求逆公式 A可逆分→AA-=E A"CB e→r(4)=n A可以表示为初等矩阵的乘积 A O →A无零特征值 这里A,B均为可逆方阵 兮AX=0只有零解 向量 重要公式与结论 (1)有关向量组的线性相关性 1)部分相关,整体相关:整体无关,部分无关 2)①n个n维向量a1,a2…,an线性无关台[1,a2…,an]≠0 n个n维向量a1a2…an线性相关台|l,a2…al]|=0 ②n+1个n维向量线性相关 ③若ax1,a2,…,O线性无关,则添加分量后仍然线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍 线性相关 3)设r(Amn)=r,则A的秩r(4)与A的行列向量组的线性相关性关系为 ①若r(4mn)=r=m,则A的行向量组线性无关。②若r(An)=r<m,则A的行向量组线性 相关。 ③若(A1)=r=n,则A的列向量组线性无关,④若(A)=r<n,则A的列向量组线性 相关。 (2)有关向量组的线性表示水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （2）有关 的结论 ∗ A 1） == EAAAAA ∗∗ 2） ( 2) ( ) ,( ) ( 3) 2 1 1 =≥= ≥= ∗ − ∗ ∗∗− ∗ − nAAAAkkAnAA n n n ， 3）若 A 可逆，则 ( ) A A AAAA 1 , 1 1 = = − ∗ ∗− 4）若 A 为 阶方阵，则 n ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −< −= = = ∗ 1,0 ,1 ;1 ;, nAr nAr nArn Ar （3）有关 的结论 （4）分块求逆公式 −1 A A 可逆⇔ AA = E −1 ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1 1 BO OA BO OA ⇔ A ≠ 0 ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− − 1 1 11 1 BO CBAA BO CA ⇔ ( ) = nAr ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− − − 111 1 1 BCAB OA BC OA ⇔ A 可以表示为初等矩阵的乘积； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − OA BO B AO 1 1 1 0 ⇔ A 无零特征值； 这里 均为可逆方阵。 , BA ⇔ Ax = 0 只有零解。 二、 向量 重要公式与结论 （1）有关向量组的线性相关性 1）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关 2）① 个 维向量 n n α α α n ,,, 21 L 线性无关⇔ [ ] 0 ,,, 21 L ααα n ≠ n 个 维向量 n α α α n ,,, 21 L 线性相关⇔ [ ] 0 ,,, 21 L ααα n = ② 个 维向量线性相关。 n +1 n ③若α α α s ,,, 21 L 线性无关，则添加分量后仍然线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍 线性相关 3）设 ( ) A ×nm = rr ,则 A 的秩 与 r( ) A A 的行列向量组的线性相关性关系为： ①若 ( ) A ×nm rr == m ，则 A 的行向量组线性无关。 ②若 (A ×nm ) = rr < m ，则 A 的行向量组线性 相关。 ③若 ( ) A ×nm rr == n ，则 A 的列向量组线性无关。 ④若 (A ×nm ) = rr < n ，则 A 的列向量组线性 相关。 （2）有关向量组的线性表示 32