木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 第五章线性代数 行列式 重要公式与结论 (1)行列式按行(列)展开定理 a1)-4+++4-14 或 +a,A2,+…+aA 即AA=AA=|4E 其中41 2=(,)=(4y (2)设A、B为n阶方阵,则AB=14B=4=1B4, 但A±B=4±B不一定成 (3)k4=k4A为刀阶方阵 (4)设A为阶方阵,则1=14r|-(若A可逆)|=(n≥ A O A C A O O B 4lF,A、B为方阵 o amm=(-1 B (6)范德蒙行列式 (7)设A为n阶方阵,(=12,…,n)是A的n个特征值,则4=∏ 重要公式与结论 1)A,A-,A三者之间的关系 1)(H4=BH、=(4士8=±B2)(r)=4(4时=Br、=x 但(A±B)=A-±B-不一定成立。 3)(x)=|424(n≥3(4B=BA,i”=k"A(n22) 但(±B)=A±B不一定成立 4)(xy=()rr=r),r)=(r 31水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第五章 线性代数 一、行列式 重要公式与结论 （1）行列式按行（列）展开定理 设 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =+++== × ji jiA jiji AaAaAaaA jnin nn ij ,0 , 2211 L 或 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =+++ ji jiA AaAaAa jiji njni ,0 , 2211 L 即 == EAAAAA ∗∗ 其中 ( )( )T ji ij nn nn n n AA AAA AAA AAA A == ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =∗ L LLLL L L 21 12 22 2 11 21 1 （2）设 、BA 为 n 阶方阵，则 === BAABBAAB ， 但 ±=± BABA 不一定成 立 （3） AAkkA n = , 为 阶方阵， n （4）设 A 为 阶方阵，则 n 1 1 ; − − == AAAAT （若 A 可逆） ( 2) 1 ≥= ∗ − nAA n （5） BA BC OA BO CA BO OA === , 、BA 为方阵 ， 但 ( ) BA .1 OB AO mn nn mm ⋅−= × × （6）范德蒙行列式 ∏( ) ≤<≤ −− − = −= nij ji n n nn n n xx xxx xxx D 1 1 1 2 1 1 21 111 L LLLL L L （7）设 A 为 阶方阵， n ( ni i λ = L,,2,1 ) 是 A 的 个特征值，则 n ∏= = n i A i 1 λ 二、矩阵 重要公式与结论 （1） 三者之间的关系 ∗− AAAT ,, 1 1）( ) ( ) () ( ) T TT T T T TT 2） T T , = ,, ±=±= BABAkAkAABABA ( ) ( ) () 1 11 1 1 1 1 1 , , − −− − − − − == = A k kAABABAA 但( )−1 ±=± BABA −− 11 不一定成立。 3）( ) ( )( ) ( ) ( ,3 , 2 1 2 = ≥ = = ≥ − ∗ ∗∗ ∗ ∗− ∗ ∗ nAkkAABABnAAA n n ) 但( ) ∗∗ 不一定成立 ∗ ±=± BABA 4）( ) ( )( ) ( )() ( ) ∗ ∗ − ∗ ∗ − − − = = = T T T T , , AAAAAA 1 1 1 1 31