第十一章多元函数微分学 4.当AC-B=O时,仅仅根据f(x,y)在点M(xy)的二阶导 数不足以判定∫(x,y)在点Mxo,y)是否取得极值,需要作进 步讨论,这里从略 例1求函数f(x,y)=2x4+y2-2x2-2y2的所有局部极值 解求偏导数得=8x-4x, y,解 =8x3-4x=0 a 得到9个驻点: (x1,y1)=(0,0) (x2y2)=(0,1) (x3,y3)=(0,-1) (x4,y4) 0),(x3,y3)=(1)(x6,y)=(,-1) (x,y2)=( x,y3)=( 求二阶偏导数得 =24x2- =12x2-4, 2f 在上述每个点计算A,B,C得到下表 (x,y)(0.0)(0,1)(0,-1)(,0)(,1) 1)(-,0)(-,1)( B 880 C 0 AC-B2-16-32-32 32 -32 由极值的充分条件可知,函数∫在 (xs,y3),(x6,y)(x8,y3)(x9,y) 取局部极小值,其它点均为鞍点(非极值点) 例2(最小二乘法)设变量y与x之间的关系是y=ax+b,其中a,b 是待定常数,现在通过实验测得了y与x的一组数据 (x1,y1)(x2y2),…,(xny),问如何由这一组数据得到最佳的待定常 数a,b 解所谓最佳,是指测量值与精确值之间的误差平方和达到最小 即使a,b的函数 Min f(a, b)=2(-(ax; +b))2. 第十一章多元函数微分学第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 4. 当 AC −B = 2 0 时,仅仅根据 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 的二阶导 数不足以判定 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 是否取得极值,需要作进 一步讨论,这里从略. 例 1 求函数 f (x, y) = 2x + y − 2 x − 2 y 4 4 2 2 的所有局部极值. 解 求偏导数得     f x x x f y = 8 −4 = 4y −4 y 3 3 , ，解      = − = = − = 4 4 0 8 4 0 3 3 y y y f x x x f     得到 9 个驻点： , 1), 2 1 ,1), ( , ) ( 2 1 ,0), ( , ) ( 2 1 ( , ) ( ( , ) (0,0), ( , ) (0,1), ( , ) (0, 1), 4 4 5 5 6 6 1 1 2 2 3 3 = = = − = = = − x y x y x y x y x y x y , 1) 2 1 ,1), ( , ) ( 2 1 ,0), ( , ) ( 2 1 ( , ) ( 7 7 8 8 9 9 x y = − x y = − x y = − − 求二阶偏导数得 24 4, 12 4, 0 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = x y f x y f x x f        . 在上述每个点计算 A,B,C 得到下表： ( i , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i i i i i i i x y A B C A C B 0 0 0 1 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 4 4 4 8 8 8 8 8 8 4 8 8 4 8 8 4 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 32 32 32 64 64 32 64 64 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − 由极值的充分条件可知，函数 f 在 ( 5 , ),( , )( , )( , ) x 5 6 6 8 8 9 9 y x y x y x y 取局部极小值，其它点均为鞍点（非极值点）. 例2（最小二乘法）设变量 y 与 x 之间的关系是 y = ax+b ，其中 a,b 是待定常数 . 现在通过实验测得了 y 与 x 的一组数据 ( 1 , ),( , ),...,( , ) x 1 2 2 y x y xn yn ，问如何由这一组数据得到最佳的待定常 数 a,b. 解 所谓最佳，是指测量值与精确值之间的误差平方和达到最小， 即使 a,b 的函数 Min = = − + n i i i f a b y ax b 1 2 ( , ) ( ( )) .令