第一章多项式 §1数域 教学目的:使学生掌握数域的概念,并能熟练地验证 教学重点:数域的定义与性质 教学难点:数域的验证 教学过程 、数的历史:(略) 、数的代数性质:关于数的加、减、乘、除等运算的性质 数所研究的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实 数、复数的全体所共有的 三、定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1。如果P中任意两个 数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域。 注:1、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域,这三个数域分别用字母Q、R、C来代表。 2、如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中,就说数 集P对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在 内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P就称 为一个数域 3、由于P对于减法是封闭的,且0=1-1,故数域的定义也进一步说成,如 果一个包含1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭 的,那么P就称为一个数域。 四、例子: 例1所有具有形式 a+bv2 的数(其中a,b是任何有理数),构成一个数域,通常用Q(√2)来表示这个数域 解:1、显然,Q(√2)包括0与1,且对于加、减法是封闭的 2、设a+b,c+√∈Q(√2),其中a,b,c,d∈Q,则第一章 多项式 §1 数域 教学目的：使学生掌握数域的概念，并能熟练地验证 教学重点：数域的定义与性质 教学难点：数域的验证 教学过程： 一、数的历史：（略） 二、数的代数性质：关于数的加、减、乘、除等运算的性质。 数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实 数、复数的全体所共有的。 三、定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1。如果 P 中任意两个 数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 注：1、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域，这三个数域分别用字母 、 、 来代表。 2、如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数 集 P 对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在 内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称 为一个数域。 3、由于 P 对于减法是封闭的，且 0 1 1 = − ，故数域的定义也进一步说成，如 果一个包含 1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭 的，那么 P 就称为一个数域。 四、例子： 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a b , 是任何有理数），构成一个数域，通常用 ( 2) 来表示这个数域。 解：1、显然， ( 2) 包括 0 与 1，且对于加、减法是封闭的； 2、设 a b c d + +  2, 2 ( 2) ，其中 a b c d , , ,  ，则