第一章钱性方程组 例1.1.求解线性方程组 2-=-1 x1-2x2=-4 3x1-2x2+x4=-7 ③ 3m1+2+x3+3x4=0回 解答.④-③，得 3r2+x+2m4=7 方程组0，②，③，⊙的解一定满足方程组0.②，③，⑤.反之，④=③+⑤，方程组0，@，③，⑥的解 定满足方程组0，@，③，Q.因此，方程组①，@，③，④与方程组①，@，③，⑥的解集相同. 同理，③-3×②，得同解方程组，②⑥，⑤，其中 4r2+r4=5 ⑥-3×①，得同解方程组0，@，©，⊙，其中 43+24=10 ©-4×①，得同解方程组0，②，⊙，⊙，其中 43+x4=9 ⊙-®，得同解方程组①，②，®，@，其中 E=1 把4代入⊙，得到3=2.把xa代入①，得到2=1.把2代入回，得到1=-2. ◇ 全思考：把已解出的未知数代入某个方程求得其它未知数的过程是否有可能产生“增根？ 定理11.对于线性方程组的下列操作不改变线性方程组的解 1.交换某两个方程在线性方程组中的位置，其它方程不变 县.把某个方程替换成它的非零常数倍，其它方程不变。 3.把某个方程替换成它与另一方程的常数倍之和，其它方程不变. 其中方程a1十a22十…十ann=b的常数入倍定义为 (Aa)m+(a2)2+…+(Aan)zn=(b) 两个方程a11+22+…+anxn=b与a(x1+a2十…十anxn=b之和定义为 (a1+4)1+(a2+a)z2+…+(an+)zn=(b+) 定义1.1.以上三类操作，称为对于线性方程组的初等变换，8 第一章 线性方程组 例 1.1. 求解线性方程组    x2 − x3 = −1 ⃝1 x1 − 2x2 = −4 ⃝2 3x1 − 2x2 + x4 = −7 ⃝3 3x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0 ⃝4 解答. ⃝4 − ⃝3 ，得 3x2 + x3 + 2x4 = 7 ⃝5 方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 的解一定满足方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 ．反之，⃝4 = ⃝3 + ⃝5 ，方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 的解一 定满足方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 ．因此，方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 与方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 的解集相同． 同理，⃝3 − 3 × ⃝2 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝6 ,⃝5 ，其中 4x2 + x4 = 5 ⃝6 ⃝5 − 3 × ⃝1 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝6 ,⃝7 ，其中 4x3 + 2x4 = 10 ⃝7 ⃝6 − 4 × ⃝1 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝8 ,⃝7 ，其中 4x3 + x4 = 9 ⃝8 ⃝7 − ⃝8 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝8 ,⃝9 ，其中 x4 = 1 ⃝9 把 x4 代入⃝8 ，得到 x3 = 2．把 x3 代入⃝1 ，得到 x2 = 1．把 x2 代入⃝2 ，得到 x1 = −2．  思考：把已解出的未知数代入某个方程求得其它未知数的过程是否有可能产生“增根”？ 定理 1.1. 对于线性方程组的下列操作不改变线性方程组的解． 1. 交换某两个方程在线性方程组中的位置，其它方程不变． 2. 把某个方程替换成它的非零常数倍，其它方程不变． 3. 把某个方程替换成它与另一方程的常数倍之和，其它方程不变． 其中方程 a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b 的常数 λ 倍定义为 (λa1)x1 + (λa2)x2 + · · · + (λan)xn = (λb). 两个方程 a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b 与 a ′ 1x1 + a ′ 2x2 + · · · + a ′ nxn = b ′ 之和定义为 (a1 + a ′ 1 )x1 + (a2 + a ′ 2 )x2 + · · · + (an + a ′ n )xn = (b + b ′ ). 定义 1.1. 以上三类操作，称为对于线性方程组的初等变换．