例24.3设x1=√2,xn1=3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有0<x1<3。设0<xk<3,则0<x1=3+2x<3,由数 学归纳法,可知对一切n,成立 0<X,<3。 由于xmx=3+2x,-x=3-x1+xn)>0,数列{x单调增加且 3+2x.+x 有上界,由定理2.4.1可知{xn}收敛 设imxn=a,对xn1=√3+2x两边求极限,得到a=√3+2a,解 此方程,得到a=3,即 lim 3例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3+ 2xn , n = 1,2,3,  。证明数列{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 首先有0  x1  3。设0  xk  3，则0  k+1 x = 3 + 2xk  3，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立0  xn  3。 由于 xn+1 - x n = 3+ 2xn - x n = 0 3 2 (3 )(1 )  + + − + n n n n x x x x ，数列{ x n }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ x n }收敛。 设lim n→ xn = a ，对 xn+1 = 3+ 2xn 两边求极限，得到 a = 3+ 2a ，解 此方程，得到a = 3，即 lim n→ xn = 3