厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 §83对称变换,对称矩阵 首先讨论欧氏空间的线性变换在不同的标准正交基下的矩阵的正交相似关系 设51,52,……,5n和m 7hn是n维欧氏空间v的的标准正交基,T是从基m1,m2,…,Tn到 ≤1,52,…,Sn的过渡矩阵,是正交矩阵,即 (51,2,……,5n)=(m,m2,…,mn)T 设φ是n维欧氏空间V的线性变换,φ在两个标准正交基下的矩阵分别是A,B,即 则有B=T-1AT 定义8.31设A,B是R上n阶方阵,如果存在正交矩阵T,使得 B=T-IAT= TTAT 则称A正交相似于B. 从上面的分析直接得到如下定理 定理8.3.1R上两个n阶方阵A,B正交相似的充分必要条件是它们为欧氏空间v上同一个线性变换 在不同的标准正交基下的矩阵 定理83.2Rn×n上的正交相似关系满足:(1)反身性,即A正交相似于A:(2)对称性,即若A正 交相似于B,则B正交相似于A;(3)传递性,即若A正交相似于B,B正交相似于C,则A正交相似于 证明根据定义和正交矩阵的性质 对于欧氏空间的线性变换,重要的任务是寻找正交相似下的标准形.下面讨论一类特殊的但重要的对称 变换,下一节将讨论正交变换 定义8.32设φ是n欧氏空间v上的线性变换,如果满足对于任意的a,B∈V,都有 (y(a),B)=(a,g(B), 则称φ是对称变换 定理8.3.3设φ是n维欧氏空间的线性变换,则下列条件等价:-o92#Q #R IP $℄ 59.77.1.116; Ms gdjpkc.xmu.edu.cn |  §8.3 ￾~}

￾~ .lw^L"06CP!"aWOE,"XU"WO19+  ξ1, ξ2, · · · , ξn = η1, η2, · · · , ηn Æ n %w^L V ""aWOE￾ T ÆE η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn "<)XU￾ÆWOXU￾G (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)T.  ϕ Æ n %w^L V "06C￾ ϕ Pe3aWOE,"XU1 Æ A, B, G ϕ(η1, η2, · · · , ηn) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B, QI B = T −1AT = T T AT. jx 8.3.1  A, B Æ R  n S/U￾;PWOXU T , ! B = T −1AT = T T AT, QÆ Azmws K B. q"1*[R! ,'b jo 8.3.1 R e3 n S/U A, B WO1"1<MÆp$w^L V !>306C P!"aWOE,"XU jo 8.3.2 R n×n "WO19+m (1) .6￾G A WO1K A; (2) *Æ6￾G A W O1K B, Q B WO1K A; (3) &6￾G A WO1K B, B WO1K C, Q A WO1K C. {r 5Y'C=WOXU"6^ ✷ *Kw^L"06C￾`<")Æ:SWO1,"a4,ql>a"`<"*Æ C￾,>TNlWOC jx 8.3.2  ϕ Æ n w^L V "06C￾;m *KB" α, β ∈ V , (I (ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), QÆ ϕ Æ kihl. jo 8.3.3  ϕ Æ n %w^L V "06C￾Q,gM#K 1