第四节大数定理与中心极限定理 概率论与数理统计是硏究随机现象统计规律性的学科.而随机现象的规律性在相同的 条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性。例如,大量的抛掷硬币的随机试验中,正面 出现频率;在大量文字资料中,字母使用频率;工厂大量生产某种产品过程中,产品的废品 率等.一般地,要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律,就要研究大量随机现象的问题 在生产实践中,人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性.这 种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景在这一节中,我们将介绍有关随机变量 序列的最基本的两类极限定理--大数定理和中心极限定理 分布图示 ★大数定理的引入 ★切比雪夫不等式 ★例1 例2 ★大数定理 ★推论 大数定理 ★中心极限定理的引入 ★林德伯格一勒维定理 ★棣莫佛一拉普拉斯定理 ★例 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★高尔顿钉板试验 中心极限定理 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题44 返回 内容要点 、切比雪夫不等式 定理2设随机变量X有期望E(X)=和方差D(X)=a2,则对于任给E>0,有 E 上述不等式称切比雪夫不等式 注:()由切比雪夫不等式可以看出若σ2越小,则事件 dx-E(X)kE 的概率越大,即,随机变量X集中在期望附近的可能性越大。由此可见方差刻划了随机变量 取值的离散程度 (i)当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X与它的期望的偏差不小于E的概率的估计 式如取E=30,则有 P{X-E(X)30}≤ 0.l11 故对任给的分布只要期望和方差a2存在,则随机变量X取值偏离E(X)超过3的概率小第四节 大数定理与中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的 条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面 出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品 率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题. 在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这 种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量 序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理. 分布图示 ★大数定理的引入 ★切比雪夫不等式 ★例 1 ★例 2 ★大数定理 ★推论 大数定理 ★中心极限定理的引入 ★林德伯格—勒维定理 ★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例 3 ★例 4 ★例 5 ★例 6 ★例 7 ★例 8 ★高尔顿钉板试验 中心极限定理 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题 4-4 ★返回 内容要点 一、切比雪夫不等式 定理 2 设随机变量 X 有期望 E(X) =  和方差 2 D(X) = ,则对于任给   0 , 有 2 2 {| | }   P X −     . 上述不等式称切比雪夫不等式. 注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若 2  越小, 则事件 {| X − E(X)| } 的概率越大, 即, 随机变量 X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量 取值的离散程度. (ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了 X 与它的期望的偏差不小于  的概率的估计 式.如取  = 3, 则有 0.111. 9 {| ( )| 3 } 2 2 −      P X E X  故对任给的分布,只要期望和方差 2  存在, 则随机变量 X 取值偏离 E(X) 超过 3 的概率小