于0.111 大数定理 1.切比雪夫大数定律 定理3(切比雪夫大数定律)设x,X2,…,Xn,…是两两不相关的随机变量序列它们数学 期望和方差均存在,且方差有共同的上界,即D(X)≤K,i=1,2,…,则对任意E>0,有 imP∑x-∑E(x,)<t}=1 注:定理表明当n很大时随机变量序列{x}的算术平均值∑x依概率收敛于其数 学期望∑E(x) 2.伯努利大数定理 定理4(伯努利大数定律)设n是n重伯努利试验中事件A发生的次数,p是事件A在每 次试验中发生的概率,则对任意的E>0,有 mP-p<s}=1或mP凹-p≥s}=0 n n 注:()伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例,它表明:当重复试验次数n充分大 时,事件A发生的频率丛依概率收敛于事件A发生的概率p.定理以严格的数学形式表达 了频率的稳定性.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替 事件的概率 (i)如果事件A的概率很小,则由伯努利大数定律知事件A发生的频率也是很小的,或 者说事件A很少发生.即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”,这一原理称 为小概率原理,它的实际应用很广泛.但应注意到,小概率事件与不可能事件是有区别的.在 多次试验中,小概率事件也可能发生 三、中心极限定理 在实际问题中,许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成,其中每一 个因素在总的影响中所起的作用是微小的.这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布 以一门大炮的射程为例,影响大炮的射程的随机因素包括:大炮炮身结构的制造导致的误差 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差,瞄准时的误差,受风速、风向的干扰而造成的误差等 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的,并且可以看成是相互独立 的,人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响.因此需要讨论大量独立随机 变量和的问题 中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题,其结论表明:当一个量受许 多随机因素(主导因素除外)的共同影响而随机取值,则它的分布就近似服从正态分布于 0.111. 二、大数定理 1．切比雪夫大数定律 定理 3 (切比雪夫大数定律)设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是两两不相关的随机变量序列,它们数学 期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即 D(X )  K,i =1,2,  , i 则对任意   0 , 有 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =          −   = = →  n i i n i i n E X n X n P 注: 定理表明: 当 n 很大时,随机变量序列 { } Xn 的算术平均值 = n i Xi n 1 1 依概率收敛于其数 学期望 = n i E Xi n 1 ( ) 1 . 2．伯努利大数定理 定理4 (伯努利大数定律)设 A n 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, p 是事件 A 在每 次试验中发生的概率, 则对任意的   0 , 有 lim =1       −  → p  n n P A n 或 lim = 0       −  → p  n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理 1 的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数 n 充分大 时, 事件 A 发生的频率 n nA 依概率收敛于事件 A 发生的概率 p .定理以严格的数学形式表达 了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替 事件的概率. (ii) 如果事件 A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件 A 发生的频率也是很小的，或 者说事件 A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称 为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在 多次试验中，小概率事件也可能发生. 三、中心极限定理 在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一 个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立 的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机 变量和的问题. 中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许 多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布