1.林德伯格勒维定理 定理6(林德伯格勒维)设x1,X2,…Xn…是独立同分布的随机变量序列,且 E(X1)=H,D(X1)=a2,i=l ∑x lim p 注:定理6表明:当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近 似服从正态分布.虽然在一般情况下,我们很难求出X1+X2+…+Xn的分布的确切形式 但当n很大时,可求出其近似分布.由定理结论有 SX;-nμ近y(O4)→ ∑X,-H a/~A0=XM(ma2nx=∑x 故定理又可表述为:均值为μ,方差的σ32>0的独立同分布的随机变量 X1,X2…Xn…的算术平均值X,当n充分大时近似地服从均值为,方差为a2/n的正态 分布.这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础 2.棣莫佛一拉普拉斯定理 在第二章中,作为二项分布的正态近似,我们曾经介绍了棣莫佛一拉普拉斯定理,这里 再次给出,并利用上述中心极限定理证明之 定理7〔檬莫佛拉普拉斯定理)设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项分布,则 对任意x,有 n 注:易见,棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况. 例题选讲 切比雪夫不等式 例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切 比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 解设每毫升白细胞数为X,依题意,=7300,a2=7002, 所求概率为 P{5200≤X≤9400)=P{5200-7300≤X-7300≤9400-7300} =P{-2100≤X-≤2100}=P{X-≤2100} 由切比雪夫不等式 P|X-Mk2100}≥1-a2/(21002=1-(700/21002=1-1/9=8/9,1．林德伯格—勒维定理 定理 6 (林德伯格—勒维) 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是独立同分布的随机变量序列, 且 E(Xi ) = ,D(Xi ) = 2 ,i =1,2,  ,n,  则   − = − → =                − x t n i i n x e dt n X n P 1 / 2 2 2 1 lim    注: 定理 6 表明: 当 n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近 似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出 X1 + X2 ++ Xn 的分布的确切形式, 但当 n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有 . 1 ~ (0,1) ~ ( , / ), / 1 ~ (0,1) 1 1 1 2    = = =  = −  − n i i n i i n i i X n N X N n X n X n N n X n       近似 近似 故 定 理 又 可 表 述 为 : 均 值 为  , 方 差 的 0 2   的 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 X1 , X2 ,  , Xn ,  的算术平均值 X , 当 n 充分大时近似地服从均值为  ,方差为 / n 2  的正态 分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础. 2. 棣莫佛—拉普拉斯定理 在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里 再次给出，并利用上述中心极限定理证明之. 定理 7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量 Yn 服从参数 n, p (0  p 1) 的二项分布, 则 对任意 x , 有 ( ) 2 1 (1 ) lim 2 2 x e dt x np p Y np P x t n n = =           − − − − →  注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况. 例题选讲 切比雪夫不等式 例 1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切 比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400 之间的概率. 解 设每毫升白细胞数为 X, 依题意,  = 7300, 700 , 2 2  = 所求概率为 P{5200  X  9400} = P{5200 − 7300  X − 7300  9400 − 7300} = P{−2100  X −   2100} = P{| X −  | 2100}. 由切比雪夫不等式 2 2 P{| X −  | 2100}1− /(2100) 2 =1− (700/ 2100) =1−1/9 = 8/9