即每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 例2(E01)在每次试验中,事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求独立试 验次数n最小取何值时,事件A出现的频率在0740.76之间的概率至少为0.90? 解设X为次试验中,事件A出现的次数,则 X~b(n,0.75),=075n,a2=0.75×025n=0.1875n 所求为满足P(074<X/n<0.76}≥090的最小的n P074<X/n<0.76}可改写为 P{0.74n<X<0.76m}=P{-0.01n<X-0.75n<0.01m}=P{|X-k0.0lm} 在切比雪夫不等式中取E=001n,则 P074<X/n<076}=PX-k001m≥1-a2/001m2 =1-0.1875n/00001n2=1-1875/mn 依题意,取n使1-1875/n≥0.9,解得n≥1875/1-0.9)=18750 即n取18750时,可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~076之间的 概率至少为0.90 棣莫佛一拉普拉斯定理 例3(F02)一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 解设为第i个螺丝钉的重量,i=1,2,…,100,且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量为X=∑x,且由H=E(X)=100.=√D(X,)=10,n=100 知E(X)=100×E(X)=10000(x)=100由中心极限定理有 P{X>10200}=P 10200-n X-100010200-1000 100 100 100>27}=1-m/x-0092 X-10000 例4(E03)计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原则.为简单计,现在对小数点后 面第一位进行舍入运算,则误差X可以认为服从[0.50.5]上的均匀分布.若在一项计算中 进行了100次数字计算,求平均误差落在区间3/203/20上的概率 解n=100,用X1表示第i次运算中产生的误差.X1X2,…X10相互独立,都服从 [-0.5.0.5]上的均匀分布,且E(X1)=0,va(X)=1/12,i=1,2,…,100,从而即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不小于 8/9. 例 2 (E01) 在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试 验次数 n 最小取何值时, 事件 A 出现的频率在 0.74~0.76 之间的概率至少为 0.90? 解 设 X 为次试验中, 事件 A 出现的次数, 则 X ~ b(n, 0.75),  = 0.75n, 0.75 0.25 0.1875 , 2  =  n = n 所求为满足 P{0.74  X / n  0.76} 0.90 的最小的 n. P{0.74  X / n  0.76} 可改写为 P{0.74n  X  0.76n} = P{−0.01n  X − 0.75n  0.01n} = P{| X −  | 0.01n} 在切比雪夫不等式中取  = 0.01n, 则 P{0.74  X / n  0.76} = P{| X −  | 0.01n} 2 2 1− /(0.01n) 2 =1− 0.1875n / 0.0001n =1−1875 / n 依题意, 取 n 使 1−1875/ n  0.9, 解得 n 1875/(1− 0.9) =18750, 即 n 取 18750 时, 可以使得在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90. 棣莫佛—拉普拉斯定理 例 3 (E02) 一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是 100g, 标准差是 10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 解 设为第 i 个螺丝钉的重量, i =1,2,  ,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量为 , 100 1 = = i X Xi 且由 = ( ) =100,  E Xi = ( ) =10,  D Xi n =100, 知 ( ) =100 ( ) =10000, E X E Xi D(X ) =100, 由中心极限定理有               −  −  = = n n n X n P X P n i i     10200 { 10200} 1       −  − = 100 10200 10000 100 X 10000 p        − = −        − = 2 100 10000 2 1 100 10000 X P X P 例 4 (E03) 计算机在进行数学计算时, 遵从四舍五入原则. 为简单计, 现在对小数点后 面第一位进行舍入运算, 则误差 X 可以认为服从 [−0.5,0.5] 上的均匀分布. 若在一项计算中 进行了 100 次数字计算, 求平均误差落在区间 [− 3 / 20, 3 / 20] 上的概率. 解 n =100, 用 Xi 表示第 i 次运算中产生的误差. 1 2 100 X , X ,  , X 相互独立, 都服从 [−0.5,0.5] 上的均匀分布, 且 ( ) = 0, E Xi var( ) =1/12, Xi i =1,2,  ,100, 从而