Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X+AX=0 0; 1 d 它们可以归纳为下面的一般形式 dx p(z)s+[Ap(a)-q(=)ly=0 这种类型的方程称为 Sturm- Liouville型(简称S-L型)方程 ·不妨把SL型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 ·p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀).因此,就我们所关心的物理问题而言,不妨假设p(x)≥0, 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 ≡ q(a) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(r)= Ap(ar)y(a) S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成S-L型方程的本征值问题.A称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(##)明显不同于方程 Lu(a)= Au(r)Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 5 ❧ §25.2 Sturm–Liouville ✶✷✸✒✓✔✕✖✗ ✤✹☞❰✺ ❑✰④⑤➣↔✻❰ ✸ ③✬✭➂➨✫➩➫➭➯➲❂✼✽✫✬✭➂➨✺ X00 + λX = 0; d dx  ￾ 1 − x 2
dy dx  + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr  r dR dr  + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❫⑤➃❅ ☎✾✜s☞✫✥➡➢➤ d dx  p(x) dy dx  + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➳ ✖❳✿✫➂➨✽ ✜ Sturm–Liouville ✿ (✟ ✽ S–L ✿) ➂➨ ❂ • ➏❀❁ S–L ✿➂➨ ❑✫✦✧ p(x), q(x) ✛ ρ(x) ➈❂✜❇✾➆✦✧✰➜➊❇❈❉Õ⑥✫❸❹t ⑥⑦❂ • ρ(x) ✰ ✽ ✜❃ Ï ✦✧❂ • ❆❃ Ï ✦✧ ρ(x) = ③✧ ■ ✰➃❅ ➞✜ 1 ❂ • ➏ ✹✜③✧✫❃ Ï ✦✧✰➃ ❅ →❄✳Þß ❅☞❆❇✇✫í✑ (➳■➃ ❅❈ Laplace ✮✯✫❶ö ✡❉➤ ❑❊❋ã ❃ Ï ✦✧✫●❍❿ ❈■➩⑩✬ ✰❫❏❑➘❆❇▲▼✠◆✾✴❖P✫✦✧❂➃ ❅✽ ✥✜→❄✳★✩✫❰◗❘✴✫ ➏ú❙ t) ✰P➃➐ →❄✳➯➲❄ ✼✽✫❚❯tÑ✫➏ú ❙ t (♥◆✰❱ ▼✭❲✫ ➏ú❙ ) ❂▼➅✰❪④⑤❄ ✏❳✫❚❯➯➲➜❨✰ ➏❀❩✚ ρ(x) ≥ 0 ✰ ➜➊✰à❆➏ ✹✜ 0 ❂ ✜➘✤➻✫❬❭✰➋➃❅❪❫✮✯ L ≡ − d dx  p(x) d dx  + q(x) (>) ✫❴❵❂ ➳ä✰ S–L ✿➂➨❪➃❅❛ ➻➟ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ✿➂➨❜✞⑩ ê ❆✫❊❋●❍✰❪÷➟ S–L ✿➂➨✫➩➫➭➯➲❂ λ ✽ ✜➩➫➭❂✲✳ ↕✥✸ ➩➫➭ λ ✰❈❉ S–L ➂➨✽qà✫❊❋●❍✫çèå❪✾➩➫✦✧❂ ❈ ✬✭➂➨→✌ ✰ Û ✳ ρ(x) ✫➼❝✰ S–L ✿➂➨ (#) ❩ (##) ❚❞ ➏ r✳➂➨ L 0 u(x) = λu(x). (z)