§21.3泛函的条件极值 第10页 §21.3泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 ★设有二元函数∫(x,y),它取极值的必要条件是 ,8b+dfn=0. 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 dxo, a ay ★还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(r, y=C 下求∫(x,y)的极值.这时,在原则上,可以由约束条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的y.这样,上述条件极值问题就转化为一元函数f(x,h(x)的普通极值问题,它取极值 的必要条件就是 h2(x) ★对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需 要知道 h 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 ag ag 从而求出 dy ag/ax Lr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ar ar ay ag/ay 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着 自变量数目的增多,公式也就越来越麻烦 ★在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题§21.3 泛函的条件极值 第 10 页 §21.3 泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题． F 设有二元函数f(x, y)，它取极值的必要条件是 df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. 因为dx, dy任意，所以二元函数f(x, y)取极值的必要条件又可以写成 ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. F 还有另一类二元函数的极值问题，二元函数的条件极值问题，即在约束条件 g(x, y) = C 下求f(x, y)的极值．这时，在原则上，可以由约束条件解出y = h(x)，然后消去f(x, y)中 的y．这样，上述条件极值问题就转化为一元函数f(x, h(x))的普通极值问题，它取极值 的必要条件就是 ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. F 对于这个结果还有另一种理解．因为上面并不需要真正知道y = h(x)的表达式，而只需 要知道 dy dx ≡ h 0 (x). 这样，甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y = h(x)，就可以直接对约束条件微分 ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, 从而求出 dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. 上面的讨论，当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形．但是，随着 自变量数目的增多，公式也就越来越麻烦． F 在实用中，更常用Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题．