§21.3泛函的条件极值 第11页 例如,对于上面的在约束条件 L, y 下求函数f(x,y)的极值问题,就可以引进 Lagrange乘子λ,而定义一个新的二元函数 h(a, y)=f(, y)-Ag(, y) 仍将x和y看成是两个独立变量,这样,这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出,消 去λ,这就能化为上面给出的必要条件) a(- Ag) o(-×9)=0. ax y 由此可以求出 x=x(入),y=y() 代回到约束条件中,定出 Lagrange乘子λ的数值,就可以求出可能的极值点(x,y) 如果是更多个自变量的多元函数,也可以同样地处理.如果涉及多个约束条件,也 就只需引入多个 Lagrange乘子即可 现在回到泛函的条件极值问题 如果要求泛函 在边界条件 (x1)=b 以及约束条件 团≡/G(x,y 下的极值,则可定义 Jl=Jl-Mh1[列], 仍将δy看成是独立的,则泛函Jo在边界条件下取极值的必要条件就是 dr ay F-AG)=0 由此微分方程、边界条件以及约束条件,必要时经过甄别,就可以求出 Lagrange乘子的 值λ=A0、极值函数y=y(x,Ao),以及相应的泛函Joy的条件极值 例4求泛函 在边界条件 y(0)有界,v(1)=0 ①为了以后的方便,这里的 Lagrange乘子前面多了一个负号§21.3 泛函的条件极值 第 11 页 例如，对于上面的在约束条件 g(x, y) = C 下求函数f(x, y)的极值问题，就可以引进Lagrange乘子λ，而定义一个新的二元函数① h(x, y) = f(x, y) − λg(x, y). 仍将x和y看成是两个独立变量，这样，这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出，消 去λ，这就能化为上面给出的必要条件) ∂(f − λg) ∂x = 0, ∂(f − λg) ∂y = 0. 由此可以求出 x = x(λ), y = y(λ), 代回到约束条件中，定出Lagrange乘子λ的数值，就可以求出可能的极值点(x, y)． 如果是更多个自变量的多元函数，也可以同样地处理．如果涉及多个约束条件，也 就只需引入多个Lagrange乘子即可． 现在回到泛函的条件极值问题． 如果要求泛函 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 在边界条件 y(x0) = a, y(x1) = b 以及约束条件 J1[y] ≡ Z x1 x0 G(x, y, y 0 ) dx = C 下的极值，则可定义 J0[y] = J[y] − λJ1[y], 仍将δy看成是独立的，则泛函J0[y]在边界条件下取极值的必要条件就是 ³ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 ´ (F − λG) = 0. 由此微分方程、边界条件以及约束条件，必要时经过甄别，就可以求出Lagrange 乘子的 值λ = λ0、极值函数y = y(x, λ0)，以及相应的泛函J0[y]的条件极值． 例4 求泛函 I[y] = Z 1 0 x y 02 dx 在边界条件 y(0) 有界, y(1) = 0 ①为了以后的方便，这里的Lagrange乘子前面多了一个负号．