第四章多项式 41一元多项式的定义和运算 1.设f(x),g(x)和M(x)是实数域上的多项式,证明:若是 (6)f(x)2=xg(x)2+xh(x)2, 那么f(x)=8(x)=h(x)=0 2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x) 3.证明: (-1)x(x-1).(x-n+1) ni =(-)(x-1).(x-m) §4.2多项式的整除性 求∫(x)被g(x)除所得的商式和余式 (i)f(x)=x-4x3-1g(x)=x2-3x-1 (i)f(x)=x5-x3+3x2-1,g(x)=x3-3x+2 2.证明:x|f(x)必要且只要xf(x) 3.令f(x),f2(x)g1(x)g2(x)都是数域F上的多项式,其中f1(x)≠0且 g;(x)g2x)f(x)/2(x)f(x)ig(x)证明:g2(x)f(x) 4.实数m,p,q满足什么条件时多项式x2+mx+1能够整除多项式x4+px+q 5.设F是一个数域,a∈F.证明:x-a整除x"-a 6.考虑有理数域上多项式 f(x)=(x+)y+"+(2x)x+1)+-+…+(2x)(x+) 这里k和n都是非负整数.证明: x4+(x-1)f(x)+(x+)y第四章 多项式 §4.1 一元多项式的定义和运算 1．设 f (x), g(x) 和 h(x) 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 2 2 2 f (x) = xg(x) + xh(x) ， 那么 f (x) = g(x) = h(x) = 0. 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 f (x), g(x) 和 h(x). 3．证明： ! ( 1)...( ) ( 1) ! ( 1)...( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 n x x n n x x x x x n x n n − − = − − − + − + − − − +  §4.2 多项式的整除性 1．求 f (x) 被 g(x) 除所得的商式和余式： ( i ) ( ) 4 1, ( ) 3 1; 4 3 2 f x = x − x − g x = x − x − (ii) ( ) 3 1, ( ) 3 2; 5 3 2 3 f x = x − x + x − g x = x − x + 2．证明： k x | f (x) 必要且只要 x | f (x). 3 ． 令 f x f (x) g (x) g (x) 1 2 1 2 ( ), , , 都是数域 F 上 的 多 项 式 ， 其 中 f 1 (x)  0 且 ( ) ( )| ( ) ( ), ( )| ( ). 1 2 1 2 1 1 g x g x f x f x f x g x 证明： ( )| ( ). 2 2 g x f x 4．实数 m, p, q 满足什么条件时多项式 1 2 x + mx + 能够整除多项式 . 4 x + px + q 5．设 F 是一个数域， aF. 证明： x −a 整除 . n n x − a 6．考虑有理数域上多项式 ( ) ( 1) (2 )( 1) (2 ) ( 1) , k n k n 1 k n f x = x + + x x + + + x x + + + −  这里 k 和 n 都是非负整数．证明： | ( 1) ( ) ( 1) . +1 k+n+1 x x − f x + x + k