7.证明:x4-1整除x"-1必要且只要d整除n §4.3多项式的最大公因式 1.计算以下各组多项式的最大公因式: (i)f(x)=x4+3x3-x2-4x-3g(x)=3x3+10x2+2x-3 (i)f(x)=x2+(2-2)x3+(2-4i)x2+(-1-2l)x-1-i,g(x)=x2+(1-2i)x+1-i 2.设f(x)=d(x)f(x)g(x)=d(x(x)证明:若((x)g(x)=d(x)且f(x) 和g(x)不全为零,则(f(x)g1(x)=1反之,若(f(x)g1(x)=1则d(x)是f(x)与 g(x)的一个最大公因式 3.令f(x)与g(x)是Fx的多项式,而a,bc,d是F中的数,并且 bc≠0 证明: (a/(x)+bg(x)(x)+g(x)=(f(x)g(x) 4.证明: (i)(f,g)h是f和gh的最大公因式 (i)(1,g1)2,g2)=(f1f2,fg2g1f2,g182 此处f,g,h等都是F[x]的多项式。 5.设f(x)=x2+2x3-x2-4x-2,g{(x)=x+x32-x2-2x-2都是有理数域 Q上的多项式。求(x)(x)∈Qx使得 f((x)+g(x](x)=((x)g(x) 6.设(f,g)=1.令n是任意正整数,证明:(∫,g")=1.由此进一步证明,对 于任意正整数m,n,都有(m,g")= 设(∫,g)=1.证明 (f,∫+g)=(g,f+g)=(g,f+g)=17．证明： −1 d x 整除 −1 n x 必要且只要 d 整除 n. §4.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ( ) 3 4 3, ( ) 3 10 2 3; 4 3 2 3 2 f x = x + x − x − x − g x = x + x + x − (ii) ( ) (2 2 ) (2 4 ) ( 1 2 ) 1 , ( ) (1 2 ) 1 . 4 3 2 2 f x = x + − i x + − i x + − − i x − − i g x = x + − i x + − i 2. 设 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). 1 1 f x = d x f x g x = d x g x 证明：若 ( f (x), g(x)) = d(x), 且 f (x) 和 g(x) 不全为零，则 ( ( ), ( )) 1; f 1 x g1 x = 反之，若 ( ( ), ( )) 1, f 1 x g1 x = 则 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式． 3. 令 f (x) 与 g(x) 是 F[x] 的多项式，而 a,b,c, d 是 F 中的数，并且 ad −bc  0 证明： (af (x)+bg(x),cf (x)+ dg(x)) = ( f (x), g(x)). 4． 证明： （i） ( f , g)h 是 fh 和 gh 的最大公因式； （ii） ( , )( , ) ( , , , ), 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 g1g2 f g f g = f f f g g f 此处 f , g,h 等都是 F[x] 的多项式。 5． 设 ( ) 2 4 2, ( ) 2 2 4 3 2 4 3 2 f x = x + x − x − x − g x = x + x − x − x − 都是有理数域 Q 上的多项式。求 u(x),v(x)Q[x] 使得 f (x)u(x)+ g(x)v(x) = ( f (x), g(x)). 6． 设 ( f , g) = 1. 令 n 是任意正整数，证明： ( , ) =1. n f g 由此进一步证明，对 于任意正整数 m, n ，都有 ( , ) =1. m n f g 7． 设 ( f , g) = 1. 证明： ( f , f + g) = (g, f + g) = ( fg, f + g) = 1