8.证明:对于任意正整数n都有(,g)=(",g") 9.证明:若是f(x)与g(x)互素,并且f(x)与g(x)的次数都大于0,那么 定理233里的u(x)与(x)可以如此选取,使得(x)的次数低于g(x)的次数,yx) 的次数低于f(x)的次数,并且这样的u(x)与vx)是唯一的 10.决定k,使x2+(k+6)x+4k+2与x2+(k+2)x+2k的最大公因式是 次的 1.证明:如果((x)g(x)=1,那么对于任意正整数m, ((x)g{x")=1 12.设f(x)g{(x)是数域F上的多项式。f(x)与g(x)的最小公倍式指的是 x中满足以下条件的一个多项式m(x) (a)()m(x)Eg(x)m(x) (b)如果Mx)∈F]且f(x)h(x)g(x)(x),那么m(x)x) )证明:Fx]中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的 差别外,是唯一的。 (n)设f(x)g(x)都是最高次项系数是1的多项式,令[(x)(x表示f(x)和 g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 f(x)(x)=(f(x)g(x)/(x)g(x) 13.设g(x)(x)(x)并且(g(x)f(x)=1.1=12,…,n-1证明:g(x)(x) 14.设f(x)f2(x)…f(x)∈Fx证明 )G1(x)f(x)…yf(x)=((x)(x)…f4(x)(n(x)…fn(x)1≤k≤n-1 n)f(x)f(x)…fn(x)互素的充要条件是存在多项式a(x)a2(x)…un(x)∈Fx 使得 f(xu, (x)+f2(xu,(x)+f,(xu, (x)=I8． 证明：对于任意正整数 n 都有 ( , ) ( , ). n n n f g = f g 9． 证明：若是 f (x) 与 g(x) 互素，并且 f (x) 与 g(x) 的次数都大于 0，那么 定理 2.3.3 里的 u(x) 与 v(x) 可以如此选取，使得 u(x) 的次数低于 g(x) 的次数， v(x) 的次数低于 f (x) 的次数，并且这样的 u(x) 与 v(x) 是唯一的。 10． 决定 k ，使 ( 6) 4 2 2 x + k + x + k + 与 x (k 2)x 2k 2 + + + 的最大公因式是一 次的。 11． 证明：如果 ( f (x), g(x)) =1, 那么对于任意正整数 m， ( ( ), ( )) =1 m m f x g x 12． 设 f (x), g(x) 是数域 F 上的多项式。 f (x) 与 g(x) 的最小公倍式指的是 F[x]中满足以下条件的一个多项式 m(x)： (a) f (x)m(x) 且 g(x)m(x) ； (b) 如果 h(x) ∈F[x]且 f (x)h(x), g(x)h(x) ，那么 m(x)h(x). (i) 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的 差别外，是唯一的。 (ii) 设 f (x), g(x) 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 f (x), g(x) 表示 f (x) 和 g(x) 的最高次项系数是 1 的那个最小公倍式。证明 f (x)g(x) = (f (x), g(x))f (x), g(x) 13．设 ( ) ( ) ( ), 1 g x f x f x  n 并且 (g(x), f (x)) =1,i =1,2, ,n −1. i  证明： g(x) f (x). n 14． 设 ( ), ( ), ( ) [ ]. 1 2 f x f x f x F x  n  证明： (i) ( ( ), ( ), ( )) (( ( ), ( ), ( )),( ( ), , ( ))),1 1. f 1 x f 2 x  f n x = f 1 x f 2 x  f k x f k+1 x  f n x  k  n − (ii) f (x) f (x) f (x) n , , 1 2  互素的充要条件是存在多项式 ( ), ( ), ( ) [ ] 1 2 u x u x u x F x  n  使得 f 1 (x)u1 (x)+ f 2 (x)u2 (x)+ f n (x)un (x) =1