5.设f(x)…fn(x)∈Fx令 ={(xk(x)+…f()kn(x)g(x)ex]si≤n} 比照定理142,证明:f(x)…,fn(x)有最大公因式.[提示:如果f(x)…fn(x)不 全为零,取d(x)是I中次数最低的一个多项式,则d(x)就是f(x)…f(x)的一个 最大公因式.] §4.4多项式的分解 1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积: G)3x2+1,(i)x3-2x2-2x+1 2.分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式x4+1为不可约因式的乘 积 3.证明:g(x)/(x),当且仅当s(x( 4.()求f(x)=x5-x2-2x3+2x2+x-1在Q内的典型分解式 n)求f(x)=2x3-10x2+16x3-16x2+14x-6在Rx]内的典型分解式 5证明:数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是Fx中某一不可约多项式的 幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x)=1或者存在一个正 整数m使得/()g(xy 6.设p(x)是F[x中一个次数大于零的多项式如果对于任意 f(x)(x)Fx只要p(x)(x)(x)就有p(x/(x)或p(x)g(x)那么p(x)不可约 §4.5重因式 1.证明下列关于多项式的导数的公式 f(x)+g(x)=f'(x)+g(x) (i)(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'x)15． 设 ( ), , ( ) [ ]. 1 f x f x F x  n  令  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ],1 . I = f 1 x g1 x + f n x gn x gi x  F x  i  n 比照定理 1.4.2，证明： f (x) f (x) n , , 1  有最大公因式．[提示：如果 f (x) f (x)  n , 1 不 全为零，取 d(x) 是 I 中次数最低的一个多项式，则 d(x) 就是 f (x) f (x) n , , 1  的一个 最大公因式．] §4.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： (i) 3 1; 2 x + ( ) 2 2 1. 3 2 ii x − x − x + 2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 1 4 x + 为不可约因式的乘 积. 3. 证明： ( ) ( ) , 2 2 g x f x 当且仅当 g(x) f (x). 4. (i) 求 ( ) 2 2 1 5 4 3 2 f x = x − x − x + x + x − 在 Q[x] 内的典型分解式； (ii) 求 ( ) 2 10 16 16 14 6 5 4 3 2 f x = x − x + x − x + x − 在 R[x] 内的典型分解式 5.证明：数域 F 上一个次数大于零的多项式 f (x) 是 F[x] 中某一不可约多项式的 幂的充分且必要条件是对于任意 g(x) F[x], 或者 (f (x), g(x)) =1 或者存在一个正 整数 m 使得 ( ) ( ) . m f x g x 6 ． 设 p(x) 是 F[x] 中 一 个 次 数 大 于 零 的 多 项 式 . 如 果 对 于 任 意 f (x), g(x) F[x], 只要 p(x) f (x)g(x) 就有 p(x) f (x) 或 p(x) g(x), 那么 p(x) 不可约. §4.5 重因式 1. 证明下列关于多项式的导数的公式： (i) ( f (x) g(x)) = f (x)+ g (x);  + (ii) ( f (x)g(x)) = f (x)g(x)+ f (x)g (x). 