auea a-u t>0.0<x<l (x,0)=(x) =x)0x≤1 l(0,1)=g1(1),t(l,t)=g2(1)0≤t≤T 如果偏微分方程定解问题的解存在,唯一且连续依赖于定解数据(即出现在方程 和定解条件中的已知函数),则此定解问题是适定的。可以证明,上面所举各种定解问 题都是适定的。 §2偏微分方程的差分解法 差分方法又称为有限差分方法或网格法,是求偏微分方程定解问题的数值解中应用 最广泛的方法之一。它的基本思想是:先对求解区域作网格剖分,将自变量的连续变化 区域用有限离散点(网格点)集代替;将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点 上离散变量的函数代替;通过用网格点上函数的差商代替导数,将含连续变量的偏微分 方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组(称为差分格式)。如果差分格式有 解,且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解,则差分格式的解就作为 原问题的近似解(数值解)。因此,用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以 下问题 (i)选取网格 (i)对微分方程及定解条件选择差分近似,列出差分格式; (ⅲi)求解差分格式 (ⅳ)讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面我们只对偏微分方程的差分解法作一简要的介绍 2.1椭圆型方程第一边值问题的差分解法 以 Poisson方程(1)为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 考虑 Poisson方程的第一边值问题(3) ax+a2=/(x)(x,y)∈ u(x, y)laper=p(x, y) I=aQ2 取hz分别为x方向和y方向的步长,以两族平行线x=xk=Mh,y=y,=jr (k,j=0,±1,±2,…)将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为 R={(x,y)x=M,y,=Jx,,为整数}。定解区域内部的节点称为内点,记内点 集R∩g为n2。边界r与网格线的交点称为边界点,边界点全体记为F2。与节点 (xk,y)沿x方向或y方向只差一个步长的点(x,y)和(x,ym)称为节点 (xk,y)的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于ΩUr,称为正则内点,正 则内点的全体记为Ω),至少有一个相邻节点不属于ΩUT的内点称为非正则内点, 非正则内点的全体记为92)。我们的问题是要求出问题(3)在全体内点上的数值解。 为简便记,记(k,)=(xk,y),(k,D=(xk,y),f=f(xk,y)。对正则内点-242- ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≤ ≤ = ≤ ≤ ∂ ∂ = > < < ∂ ∂ = ∂ ∂ = u t g t u l t g t t T x x l t u u x x t x l x u a t u t (0, ) ( ), ( , ) ( ) 0 ( ,0) ( ), ( ) 0 0, 0 1 2 0 2 2 2 2 2 ϕ φ 如果偏微分方程定解问题的解存在，唯一且连续依赖于定解数据（即出现在方程 和定解条件中的已知函数），则此定解问题是适定的。可以证明，上面所举各种定解问 题都是适定的。 §2 偏微分方程的差分解法 差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用 最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化 区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点 上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分 方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有 解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为 原问题的近似解（数值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以 下问题： （i）选取网格； （ii）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （iii）求解差分格式； （iv）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面我们只对偏微分方程的差分解法作一简要的介绍。 2.1 椭圆型方程第一边值问题的差分解法 以 Poisson 方程（1）为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 考虑 Poisson 方程的第一边值问题（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Γ = ∂Ω = ∈Ω ∂ ∂ + ∂ ∂ ∈Γ ( , ) | ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 u x y x y f x y x y y u x u x y ϕ 取 h,τ 分别为 x 方向和 y 方向的步长，以两族平行线 x x kh y y jτ = k = , = j = (k, j = 0,±1,±2,L) 将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为 R {(x , y ) | x kh, y j ,i, j为整数} k j k j = = = τ 。定解区域内部的节点称为内点，记内点 集 R I Ω 为 Ωhτ 。边界Γ 与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为Γhτ 。与节点 ( , ) k j x y 沿 x 方向或 y 方向只差一个步长的点 ( , ) k 1 j x y ± 和 ( , ) k j±1 x y 称为节点 ( , ) k j x y 的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于Ω U Γ ，称为正则内点，正 则内点的全体记为 (1) Ω ，至少有一个相邻节点不属于Ω U Γ 的内点称为非正则内点， 非正则内点的全体记为 (2) Ω 。我们的问题是要求出问题（3）在全体内点上的数值解。 为简便记，记( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) k j k j k , j k j k j = x y u k j = u x y f = f x y 。对正则内点