(k,j)∈Ω",由二阶中心差商公式 a(k+1D=2ak,D)+a(k-1.D+O() a2L (k,j+1)-2(k,j)+l(k,j-1) +O(r) Poisson方程(1)在点(k,处可表示为 l(k+1,j)-2u(k,)+u(k-1,),u(k,j+1)-2(k,j+l(k,j-1) h (12) 在式(12)中略去O(h2+x2),即得与方程(1)相近似的差分方程 lk 2uri +u +1-2lk,+l k,-=jk, (13) 式(13)中方程的个数等于正则内点的个数,而未知数k则除了包含正则内点处 解l的近似值,还包含一些非正则内点处u的近似值,因而方程个数少于未知数个数 在非正则内点处 Poisson方程的差分近似不能按式(13)给出,需要利用边界条件得到。 边界条件的处理可以有各种方案,下面介绍较简单的两种。 (i)直接转移 (i)线性插值 由式(13)所给出的差分格式称为五点菱形格式,实际计算时经常取h=r,此时 五点菱形格式可化为 )=f (14) 简记为 其中Ql,=4k 求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法,同步迭代法是最简单的迭代方式。除 边界节点外,区域内节点的初始值是任意取定的。 例1用五点菱形格式求解 Laplace方程第一边值问题 0 (x,y)∈9 u(x,y)ls,er=1g[(+x)2+y2]r=02 其中Ω={(x,y)0≤x,y≤1}。取h=r 当h=r时,利用点(k,)(k±1,j-1),(k±1,j+1)构造的差分格式 2h2 (lk+1+1+k+y-1+lk-1+1+l-1y-1-4uk,)=fk -243-243- (1) (k, j) ∈Ω ，由二阶中心差商公式 ( ) ( 1, ) 2 ( , ) ( 1, ) 2 2 ( , ) 2 2 O h h u k j u k j u k j x u k j + + − + − = ∂ ∂ ( ) ( , 1) 2 ( , ) ( , 1) 2 2 ( , ) 2 2 τ τ O u k j u k j u k j y u k j + + − + − = ∂ ∂ Poisson 方程（1）在点(k, j) 处可表示为 ( ) ( 1, ) 2 ( , ) ( 1, ) ( , 1) 2 ( , ) ( , 1) 2 2 , 2 2 τ τ = + + + − + − + + − + − f O h u k j u k j u k j h u k j u k j u k j k j （12） 在式（12）中略去 ( ) 2 2 O h +τ ，即得与方程（1）相近似的差分方程 k j k j k j k j k j k j k j f u u u h u u u 2 , , 1 , , 1 2 1, 2 , 1, 2 = − + + + − + − + − τ (13) 式（13）中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数uk , j 则除了包含正则内点处 解u 的近似值，还包含一些非正则内点处u 的近似值，因而方程个数少于未知数个数。 在非正则内点处 Poisson 方程的差分近似不能按式（13）给出，需要利用边界条件得到。 边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。 (i) 直接转移 (ii) 线性插值 由式（13）所给出的差分格式称为五点菱形格式，实际计算时经常取 h = τ ，此时 五点菱形格式可化为 k j k j k j k j k j k j u u u u u f h2 1, 1, , 1 , 1 , , ( 4 ) 1 + + − + + + − − = (14) 简记为 k j k j u f h2 , , 1 ◊ = （15） 其中 uk , j = uk 1, j + uk 1, j + uk , j 1 + uk , j 1 − 4uk , j ◊ + − + − 。 求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法，同步迭代法是最简单的迭代方式。除 边界节点外，区域内节点的初始值是任意取定的。 例 1 用五点菱形格式求解 Laplace 方程第一边值问题 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + Γ = ∂Ω = ∈Ω ∂ ∂ + ∂ ∂ ∈Γ ( , ) | lg[(1 ) ] 0 ( , ) 2 2 ( , ) 2 2 2 2 u x y x y x y y u x u x y 其中Ω = {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1}。取 3 1 h = τ = 。 当h = τ 时，利用点(k, j),(k ±1, j −1),(k ±1, j +1) 构造的差分格式 k j k j k j k j k j k j u u u u u f h2 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 , , ( 4 ) 2 1 + + + + − + − + + − − − = （16）