第十一讲留数定理及其应用(二 第十一讲留数定理及其应用(二 8111含三角函数的无穷积分 这类定积分的标准形式可以写成 ∫(x) cos p.rdr或I f(r)sin p.rdr 这里不妨假设p>0 处理这种类型的积分,仍可以采用半圆形的围道.但是被积画数不能简单地取为∫(z) COS p2 ∫(z) sin pz.这是因为z=∞是函数sinz或cosz的本性奇点(这意味着当z以不 方式趋于∞时,sinz或cosz可以過近于不同的数值),不便于直接计算 正确的做法是将被积函数取为f(2)eP2.如果函数f(z)e2在上半平面内只有有限个奇点,则 f(z) f(r)e'pzdr+/f(a)epz dz f(r)[cospr +isinpr]dz f(a)e'pdz ∑res{f(2)} 上半平面 只要能够计算出 lim f(a)e"p-dz R→∞JCR 分别比较实部和虚部,就可以求得 f(x) cos pr dr和 f(r)sin prdr 为此,介绍一个引理 引理11.1( Jordan引理)设在0≤argz≤π的范围内,当|2→∞时,Q(x)一致地趋近于 lim/ Q(z)e'pzdz=0 其中p>0,CR是以原点为圆心,R为半径的上半圆 证当z在CR上时,z=Re Q(z)e p2dz Q(Re e)eip R(cos 0+isin e) Re ideWu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☛ (☞) ✌ 1 ✍ ✎✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚ (✛) §11.1 ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✷✸ I = Z ∞ −∞ f(x) cos pxdx ✹ I = Z ∞ −∞ f(x) sin pxdx. ✫✺✻✼✽✾ p > 0 ✿ ❀❁❂❃❄❅❆❇❈❉❊❋ ●❍■❏❑▲❆▼◆ ✿❖P◗❇❘❙❚❯ ❱❲❳❨❩ f(z) cos pz ❬ f(z) sin pz ✿❂P ❭❩ z = ∞ P❘❙ sin z ❬ cos z ❆❪❫❴❵ (❂❛❜❝ ❞ z ●❚ ❡ ❢❣❤✐ ∞ ❥ ❉ sin z ❬ cos z ❋ ●❦❧✐❚ ❡❆❙♠) ❉❚♥✐♦♣qr lim R→∞ Z CR f(z) cos pzdz ❬ lim R→∞ Z CR f(z) sin pzdz. st✰✉✈✇①②✮③④⑤⑥ f(z)eipz ✿⑦⑧③④ f(z)eipz ⑨⑩❶❷❸ ❹❺❻❻❼❽❾❿❉➀ I C f(z)eipzdz = Z R −R f(x)eipxdx + Z CR f(z)eipzdz = Z R −R f(x) [cos px + i sin px] dx + Z CR f(z)eipzdz = 2π i X ➁➂➃➄ res  f(z)eipz . ❺➅➆➇➈➉➊ lim R→∞ Z CR f(z)eipzdz, ✯➋ ➌➍➎➏➐➑➏❉➒✵✶➓➔ Z ∞ −∞ f(x) cos px dx ➐ Z ∞ −∞ f(x) sin pxdx. ❩→❉➣↔↕➙ ➛❁ ✿ ➜➝ 11.1(Jordan ➜➝) ✾⑨ 0 ≤ arg z ≤ π ✰➞ ➟❹❉➠ |z| → ∞ ➡ ❉ Q(z) ➢➤➥➦➧➨ 0 ❉➀ lim R→∞ Z CR Q(z)eipzdz = 0, ➩ ➫ p > 0 ❉ CR ✇✶➭❿⑥ ➯➲❉ R ⑥❶➳✰⑩❶ ➯ ✿ ➵ ➠ z ⑨ CR ⑩➡ ❉ z = Re iθ ❉     Z CR Q(z)eipzdz     =     Z π 0 Q ￾ Re iθ
e ipR(cos θ+i sin θ)Re iθ idθ