11.1含三角函数的无穷积分 <ER pRsin ed0=2ER 证明的关键在于精确估计sin值.由图111可见,当0≤6≤π/2时,有 sin6≥20/π,所以 Q(a)eip=dz 2ER/e-pR:-2e/de 这样,就证明了 Q(z)epdz=0.口 于是,在满足 ordan引理的条件下 f(x)edx=2ni∑rs{f(2) 上半平面 分别取实部和虚部,即得 f(cpd=Ra{2xi∑rs(a1}=-xm∑rs[r) f()sin pr dz=Im 2ni 2 res [f(a)el =2R ∑res[f() 11.1计算积分 ,a>0 根据上面的讨论,有 所以 sIn d r=e P+a24r=2 与此同时,还得到 a r cos 这是显然的,因为被积函数是奇函数Wu Chong-shi §11.1 ➸➺➻➼✆➽➾➚➪➶ ✌ 2 ✍ ≤ Z π 0  Q ￾ Re iθ
  e −pR sin θRdθ < εR Z π 0 e −pR sin θdθ = 2εR Z π/2 0 e −pR sin θdθ. ➹ ➘✰➴➷⑨➨➬t➮➈ sin θ ➱✿✃❐ 11.1 ✵❒❉➠ 0 ≤ θ ≤ π/2 ➡ ❉❻ sin θ ≥ 2θ/π ❉❮✶     Z CR Q(z)eipzdz     < 2εR Z π 0 e −pR·2θ/πdθ = 2εR π 2pR ￾ 1 − e −pR
= επ p ￾ 1 − e −pR
. ❰ 11.1 ✫Ï❉➒➹ ➘Ð lim R→∞ Z CR Q(z)eipzdz = 0. ➨ ✇❉⑨ÑÒ Jordan ÓÔ✰ÕÖ×❉ Z ∞ −∞ f(x)eipxdx = 2π i X ➁➂➃➄ res  f(z)eipz . ✯➋⑤➎➏➐➑➏❉Ø➔ Z ∞ −∞ f(x) cos px dx = Re    2π i X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    = −2π Im    X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    , Z ∞ −∞ f(x) sin px dx = Im    2π i X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    = 2π Re    X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    . Ù 11.1 ➈➉✮✯ Z ∞ 0 x sin x x 2 + a 2 dx, a > 0 ✿ Ú ÛÜ⑩❸✰ÝÞ❉❻ Z ∞ −∞ xe ix x2 + a 2 dx = 2π i · 1 2 e i·ia = π ie−a . ❮✶ Z ∞ −∞ x sin x x 2 + a 2 dx = πe −a , Z ∞ 0 x sin x x 2 + a 2 dx = π 2 e −a . ßàá➡ ❉â➔ã Z ∞ −∞ x cos x x 2 + a 2 dx = 0. ✫✇äå✰❉æ⑥②✮③④✇❾③④✿