第十一讲留数定理及其应用 第3页 811.2实轴上有奇点的情形 瑕积分(设瑕点为c)的定义是 I(aydar=limo f(a)dr lim f(a)dr 如果这两个极限单独都不存在,但是=[.)+,)]存在,则称为瑕积分的主值存 在,记为 Jo)== f(a)dr+f(r)d 当然,如果瑕积分及其主值都存在,那么它们一定相等 因此,如果实变积分是一个瑕积分,在处理相应的复变积分∮f()dz时,实轴上的瑕 点也是被积函数的奇点,必须绕开奇点而构成闭合的积分围道.下面我们通过两个例子 来具体说明处理这类积分的基本精神 例11.2计算积分 r(1+x+x2) 解这是一个反常积分,反常性既表现在积分区间为无穷区间,又表现为被积函数在x=0点 不连续(x=0点为瑕点).此积分在主值意义下存在 p ∞R1x(1+x x 1r(1+x+x (1+x+ 因此,在应用留数定理计算此积分时,应该考虑复变积分 其中的积分围道C如图112所示,由以原点为圆心、δ为半径 的小半圆弧C6和以原点为圆心、R为半径的大半圆弧CR以及 直线段-R→-6和δ→R构成.于是,根据留数定理,有 图11.2 dz (1+z+2) Rr(1+x+x2) 2(1+2+2)+ r(1+x+x2) 2(1+z+2) 21+2+21-m=- 因为Wu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☛ (☞) ✌ 3 ✍ §11.2 çèéêëì✦íî ï✮✯ (✾ï❿⑥ c) ✰✭ð✇ Z b a f(x)dx = lim δ1→0 Z c−δ1 a f(x)dx + lim δ2→0 Z b c+δ2 f(x)dx. ⑦⑧✫ñ❽ò❼óôõ✻ö⑨❉÷✇ lim δ→0  Z c−δ a f(x)dx + Z b c+δ f(x)dx  ö⑨❉➀ø⑥ï✮✯✰ù➱ ö ⑨❉ú⑥ v.p. Z b a f(x)dx = lim δ→0  Z c−δ a f(x)dx + Z b c+δ f(x)dx  . ➠å❉ ⑦⑧ï✮✯û➩ù➱õö⑨❉üýþÿ➢ ✭￾✁✿ ❭→❉✂✄ ☎✆❇❈P↕➙✝❇❈❉✞❀❁✟✠❆✡✆❇❈ I C f(z)dz ❥ ❉☎☛☞❆✝ ❵✌P◗❇❘❙❆❴❵❉✍✎✏✑❴❵✒✓✔ ✕✖❆❇❈ ▼◆ ✿✗ ✘✙✚✛✜✢➙✣✤ ✥✦✧★ ✩❀❁❂ ❄❇❈❆✪❪✫✬✿ Ù 11.2 ➈➉✮✯ Z ∞ −∞ dx x(1 + x + x 2) ✿ Ú ✫✇➢❽✭✮✮✯❉✭✮✯✰✱✲⑨✮✯✳✴⑥✵✶✳✴❉✷✱✲⑥②✮③④⑨ x = 0 ❿ ✻✸✹ (x = 0 ❿⑥ï❿) ✿ à✮✯⑨ù ➱✺ ð×ö⑨❉ v.p. Z ∞ −∞ dx x(1 + x + x 2) = lim R1→∞ Z −1 −R1 dx x(1 + x + x 2) + lim R2→∞ Z R2 1 dx x(1 + x + x 2) + lim δ→0 "Z −δ −1 dx x(1 + x + x 2) + Z 1 δ dx x(1 + x + x 2) # . æà❉⑨✻✼ ✽④✭Ô➈➉à✮✯➡ ❉✻✾✿❀❁❂✮✯ I C dz z(1 + z + z 2) , ➩ ➫✰✮✯ ➟❃ C ⑦❐ 11.2 ❮❄❉ ✃ ✶➭❿⑥ ➯➲❅ δ ⑥❶➳ ✰❆❶ ➯❇ Cδ ➐✶➭❿⑥ ➯➲❅ R ⑥❶➳✰❈❶ ➯❇ CR ✶û ❉❊❋ −R → −δ ➐ δ → R ● ✸ ✿➨✇❉ÛÜ ✽④✭Ô ❉❻ ❰ 11.2 I C dz z(1 + z + z 2) = Z −δ −R dx x(1 + x + x 2) + Z Cδ dz z(1 + z + z 2) + Z R δ dx x(1 + x + x 2) + Z CR dz z(1 + z + z 2) = 2π i · res 1 z(1 + z + z 2)     z=ei2π/3 = − π √ 3 − iπ. æ⑥ limz→∞ z · 1 z(1 + z + z 2) = 0