§112实轴上有奇点的情形 第4页 所以,根据引理3.2,有 →∞C2(1+2+2)=0 又因为 =1 (1+z+2) 所以,根据引理3.1,有 丌1 (1+z+z2) 这样,取极限R→∞,δ→0,就得到 思考题如果积分围道中的小半圆弧是从下半平面绕过 因而把2=0点包围在围道 内,是否会得到不同的结果?为什么? 从上面的计算中可以看出,对于积分路径上有奇点的情形,总要计算围绕奇点的小圆 弧上的积分值(准确地说,要计算它的极限值) 在有些情况(例如,含三角函数的无穷积分)下,本来实变积分并不是瑕积分,但由于 在相应的复变积分中,并不是简单地将被积函数f(x)换成∫(z),因而在复变函数的围 道积分中,积分路径上却可以出现奇点、,这从下面的例子中可以看出 例113计算积分 解很自然地,应当考虑积分出,积分道和例9相同(图12) =厂=+=出++ 在积分围道包围的区域内,被积函数解析,故围道积分为0.根据 Jordan引理和引理3.1,分别有 后出=0四出 因此 广 比较两端的实部和虚部,即得 广x=0 关于这种类型的积分,还可以举出 2 dx=丌;Wu Chong-shi §11.2 ❍■❏❑▲▼➽◆❖ ✌ 4 ✍ ❮✶❉ÛÜÓÔ 3.2 ❉❻ lim R→∞ Z CR dz z(1 + z + z 2) = 0. ✷æ⑥ limz→0 z · 1 z(1 + z + z 2) = 1, ❮✶❉ÛÜÓÔ 3.1 ❉❻ lim δ→0 Z Cδ dz z(1 + z + z 2) = −π i. ✫Ï❉⑤ò❼ R → ∞ ❉ δ → 0 ❉➒➔ã v.p. Z ∞ −∞ dx x(1 + x + x 2) = − π √ 3 . P◗❘ ⑦⑧✮✯ ➟❃ ➫✰❆❶ ➯❇✇❙×❶❷❸❚❯ z = 0 ❿❉æ❱❲ z = 0 ❿❳ ➟⑨ ➟❃ ❹❉✇❨❩➔ã✻á✰❬ ⑧ ❭ ⑥❪ý ❭ ❫☞ ✘❆qr ❴❋ ●❵ ❛❉❜✐❇❈❝❞☞❡❴❵❆❢▲❉❣❤qr ▼✏❴❵❆✐ ❑ ❥☞❆❇❈♠ (❦❧❳★❉❤qr♠❆♥♦♠ ) ✿ ✞❡♣❢q (✣✂❉rs t❘❙❆✉✈❇❈) ✗❉❪✥ ☎✆❇❈✇❚P✝❇❈❉❖ ①✐ ✞✟✠❆✡✆❇❈ ❴❉✇❚P ❱❲❳②◗❇❘❙ f(x) ③ ✔ f(z) ❉❭✒✞✡✆❘❙❆ ▼ ◆❇❈ ❴❉❇❈❝❞☞④❋ ●❛⑤❴❵✿❂❫✗ ✘❆✣✤ ❴❋ ●❵ ❛✿ Ù 11.3 ➈➉✮✯ Z ∞ −∞ sin x x dx ✿ Ú ⑥ ⑦å ➥ ❉✻➠✿❀✮✯ I C e iz z dz ❉✮✯ ➟❃ C ➐⑧ 9 ￾á (❐ 11.2) ✿ I C e iz z dz = Z −δ −R e ix x dx + Z Cδ e iz z dz + Z R δ e ix x dx + Z CR e iz z dz. ⑨✮✯ ➟❃❳ ➟✰✳⑨ ❹❉②✮③④⑩❶❉❷ ➟❃✮✯⑥ 0 ✿ ÛÜ Jordan ÓÔ➐ ÓÔ 3.1 ❉✯➋❻ lim R→∞ Z CR e iz z dz = 0, lim δ→0 Z Cδ e iz z dz = −π i. æà Z ∞ −∞ e ix x dx = π i. ➌➍ñ❸✰➎➏➐➑➏❉Ø➔ v.p. Z ∞ −∞ cos x x dx = 0, Z ∞ −∞ sin x x dx = π. ➴ ➨ ✫❹✬❺✰✮✯❉â✵✶❻➊ Z ∞ −∞ sin2x x 2 dx = π;