2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 双向方式趋于无穷大。 类似前面的定义,还可以给出当x(双向)趋于无穷大时,∫(x)为无穷大量的三种描 述,即正无穷大量,负无穷大量和(双向)无穷大量。请读者完成这些练习。 2.1.2函数在一点处的极限 定义24设函数y=f(x)在x的去心邻域N(x,6)={x0<x-x<66>0 内有定义,若ⅤE>0,都存在某个常数A与>0(6<6,使当0<x-x<b时 恒有(x)-A<E,则称y=f(x)当x趋于x时的极限为A,或收敛于A。记为 lim f(x)=A 若在上述的常数A=0,则称∫(x)是当x趋于x0时的无穷小量。若上述定义中的A 不存在,则称∫(x)当x趋于x0时的极限不存在,或发散。 定义2.5设函数y=∫(x)在区间(x,x0+6)(6>0)内有定义,若VE>0,都存在 某个常数A与>0(6<6),使当0<x-x0<6时,恒有|(x)-4<,则称∫(x) 当x趋于x0时的右极限为A,记为 lim f(x)=A 而当函数y=∫(x)在区间(x0-,x)(d>0)内有定义,若VE>0,都存在某个 常数A与>0(<0),使当-<x-x0<0时,恒有(x)-A<E,则称∫(x) 当x趋于x0时的左极限为A,记为 lim f(x)=A 特别,上述三个极限)式中的A易为∞或±(即f(x)取值无限变大)时,分别称 ∫(x)在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 limf(x)=∞,limf(x)=±∞,limf(x)=±o x→x 2.2函数极限存在的条件 定理31极限lim∫(x)=A(或∞,土)存在的充要条件是:Iim∫(x)=A(或∞,±) 与limf(x)=B(或∞,±∞)都存在,且A=B(或∞,±∞) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 双向方式趋于无穷大。 类似前面的定义，还可以给出当 （双向）趋于无穷大时， 为无穷大量的三种描 述，即正无穷大量，负无穷大量和（双向）无穷大量。请读者完成这些练习。 x f (x) 2．1．2 函数在一点处的极限 定义 2.4 设函数 y = f (x) 在 的去心邻域 x0 ( , ) { , } * 0 0 N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > 内有定义，若∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当 0 0 0 < x − x < δ 时， 恒有 f (x) − A < ε ，则称 y = f (x) 当 x 趋于 x0 时的极限为 A ，或收敛于 A 。记为 f x A x x = → lim ( ) 0 。 若在上述的常数 A = 0，则称 f (x) 是当 x 趋于 x0 时的无穷小量。 若上述定义中的 A 不存在，则称 f (x) 当 x 趋于 时的极限不存在，或发散。 x0 定义 2.5 设函数 y = f (x) 在区间( , ) x0 x0 + δ （δ > 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在 某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当0 < − 0 < δ 0 x x 时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 当 趋于 时的右极限为 f (x) x 0 x A ，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 。 而当函数 y = f (x) 在区间( , ) 0 0 x − δ x （δ > 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在某个 常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当 − δ 0 < x − x0 < 0时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 当 趋于 时的左极限为 f (x) x 0 x A ，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 。 特别，上述三个极限)式中的 A 易为 ∞ 或 ± ∞ （即 f (x) 取值无限变大）时，分别称 f (x) 在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → + lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → − lim ( ) 0 f x x x 。 2．2 函数极限存在的条件 定理 3.1 极限 f x A（或 x = →∞ lim ( ) ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： （或 ） 与 （或 ）都存在，且 f x A x = →+∞ lim ( ) ∞, ± ∞ f x B x = →−∞ lim ( ) ∞, ± ∞ A = B （或∞, ± ∞ ）。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785