2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 定理2.2极限limf(x)=A(或∞,±∞)存在的充要条件是:limf(x)=A与 imf(x)=B都存在,且A=B。 x→x0 2.3极限存在的准则 2.3.1单调有界准则 定理2。3设函数y=f(x)在区间(a,a+)(6>0)内有定义且单调减有下界 则右极限lim∫(x)=A存在。而当函数y=∫(x)在区间(a-,a)(d>0)内有定义且 单调增有上界时,左极限lim∫(x)=A存在 2。3.2夹逼准则 定理2。4设函数y=∫(x)与g(x)(x)在区间(a-6,a+b)(6>0)内有定义且满 足p(x)<∫(x)<g(x),若lmg(x)=limp(x)=A存在,则Imf(x)=A存在。 2.3.3无穷小量与有阶函数的乘积的极限存在,且仍为无穷小量。即 设f(x)在某种趋向下有界,例如,若存在某个常数M>0, x∈(O,+∞)都有(x)≤M,limg(x)=0,则1mf(x)g(x)=0。 这可以作为极限存在的准则来应用。 2.4两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限(重要极限) 标准极限1 lim sine (2.1) 标准极限2 lim(1+x)=e 2.5函数极限的性质 2.5.1运算性质(以下各条均适用于x→土,∞的情形 (1)设limf(x)=A,C为实常数,则lim(C·f(x)=CA。 (2)设limf(x)=A,img(x)=B,则im(/(x)±g(x)=A士B (3)设lim∫(x)=A,lim8(x)=B,则lim(f(x):g(x)=AB。 (4)设limf(x)=A,g(x)≠0,limg(x)=B≠0,则lim f(x) A g(x) (5)设lim∫(x)=∞,∫(x)≠0,则lim-=0 x→xf(x) 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算,遇到无穷大量时,应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条件时,结 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 定理 2.2 极限 f x A （或 x x = → lim ( ) 0 ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： 与 都存在，且 f x A x x = → + lim ( ) 0 f x B x x = → − lim ( ) 0 A = B 。 2．3 极限存在的准则 2．3．1 单调有界准则 定理 2。3 设函数 y = f (x) 在区间 (a, a + δ ) （ δ > 0 ）内有定义且单调减有下界， 则右极限 f x A x a = → + lim ( ) 存在。而当函数 y = f (x) 在区间(a − δ ,a)（δ > 0 ）内有定义且 单调增有上界时，左极限 f x A x a = → − lim ( ) 存在。 2。3．2 夹逼准则 定理 2。4 设函数 y = f (x) 与 g(x),φ(x)在区间(a − δ , a + δ ) （δ > 0 ）内有定义且满 足φ(x) < f (x) < g(x) ，若 g x x A x a x a = = → → lim ( ) limφ( ) 存在，则 f x A存在。 x a = → lim ( ) 2．3．3 无穷小量与有阶函数的乘积的极限存在，且仍为无穷小量。即 设 f (x) 在某种趋向下有界，例如，若存在某个常数 M > 0， ∀x ∈ (0, + ∞) 都有 f (x) ≤ M ， lim ( ) = 0 →+∞ g x x ，则 lim ( ) ( ) 0 0 = → f x g x x x 。 这可以作为极限存在的准则来应用。 2．4 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限（重要极限） 标准极限 1 1 0 = → x x x sin lim （2.1） 标准极限 2 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) (2.2) 2．5 函数极限的性质 2．5．1 运算性质（以下各条均适用于 x → ±∞, ∞ 的情形） （1）设 f x A ，C 为实常数，则 x x = → lim ( ) 0 (C f x ) CA x x ⋅ = → lim ( ) 0 。 （2）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) A B x x ± = ± → lim ( ) ( ) 0 （3）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) AB x x ⋅ = → lim ( ) ( ) 0 。 （4）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g(x) ≠ 0 ， 0 0 = ≠ → g x B x x lim ( ) ，则 B A g x f x x x = → ( ) ( ) lim0 。 （5）设 0 0 = ∞ ≠ → lim f (x) , f (x) x x ，则 0 1 0 = → ( ) limx x f x 。 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算，遇到无穷大量时，应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时，结 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785