2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 论不一定不成立。在考试中,极限的运算法则的运用错误是常见错误,应特别注意避免这类 错误。 2.5.2解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质,主要包括极限的保序性(保号性)与复合极限定理 掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质均以 x→x0的情形为例 定理2.5极限的保序性(保号性) 若lim∫(x)=A>0,则在x的附近(除去x0)某区间内必然有∫(x)>0。换言 之,若im∫(x)=A>0,则存在x的去心邻域N(x,6)={x0<x-x<66>0 使当x∈N(x0,)时,必然有∫(x)>0。又若limf(x)=A<0,则在x0的附近(除 去x0)某区间内必然有∫(x)<0。 证由Imf(x)=A>0,则ⅤE>0,都存在某个常数A与δ>0, 使当0<x-x<6时,恒有(x)-<E或A-E<f(x)<A+E 特别取E=>0,则一<f(x)<一,于是有f(x)>>0。 由此性质,可以推论:若limf(x)=A,limg(x)=B,且A>B,则存在x0的 某去心邻域N(x,6)={x0<x-x<6,6>0,使当x∈N(x,6)时 有∫(x)>g(x)。并且,进一步有如下推论 极限保序性的逆(请读者自行练习证明) 若在x0的附近(除去x0)某区间内∫(x)>0,且极限lim∫(x)存在,则 im∫(x)=A≥0;而当在x的附近(除去x)某区间内∫(x)<0时,则 imf(x)=A≤0 定理2.6有界性 若极限lim∫(x)存在,则f(x)在x的附近(除去x)某区间内有界 定理2.7复合极限定理 若imf(u)=A,u=u(x),lim(x)=l0,x≠x时,≠u,则 lim f(u(x)=A (2.3) 复合极限定理,也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 方便。利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述,以及两个标准极限的 变形表达式如下 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 论不一定不成立。在考试中，极限的运算法则的运用错误是常见错误，应特别注意避免这类 错误。 2．5．2 解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质，主要包括极限的保序性（保号性）与复合极限定理， 掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质均以 的情形为例。 x → x0 定理 2.5 极限的保序性（保号性） 若 ，则在 的附近（除去 ）某区间内必然有 。换言 之，若 ，则存在 的去心邻域 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 x0 f (x) > 0 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ， 使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，必然有 f (x) > 0 。又若 0 0 = < → f x A x x lim ( ) ，则在 的附近（除 去 ）某区间内必然有 。 x0 x0 f (x) < 0 证 由 0 0 = > → f x A x x lim ( ) ，则∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ > 0， 使当0 < x − x0 < δ 时，恒有 f (x) − A < ε 或 A − ε < f (x) < A + ε 。 特别取 0 2 = > A ε ，则 2 3 ( ) 2 A f x A < < ，于是有 0 2 ( ) > > A f x 。 由此性质，可以推论： 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， g x B x x = → lim ( ) 0 ，且 A > B ，则存在 的 某去心邻域 x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时， 有 f (x) > g(x) 。并且，进一步有如下推论： 极限保序性的逆（请读者自行练习证明） 若在 的附近（除去 ）某区间内 ，且极限 存在，则 ；而当在 的附近（ 除 去 ）某区间内 时，则 。 x0 x0 f (x) > 0 lim f (x) x x → 0 0 0 = ≥ → f x A x x lim ( ) x0 x0 f (x) < 0 0 0 = ≤ → f x A x x lim ( ) 定理 2.6 有界性 若极限 lim f (x)存在，则 在 的附近（除去 ）某区间内有界。 x x → 0 f (x) x0 x0 定理 2.7 复合极限定理 若 lim f (u) A, u u(x) u u = = → 0 , 0 0 u x u x x = → lim ( ) ， x ≠ x0 时 ， u ≠ u0 ， 则 f u x A x x = → lim ( ( )) 0 （2.3） 复合极限定理，也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 方便。 利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述，以及两个标准极限的 变形表达式如下 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785