Vol.24 No.4 陈章华等：金属成型特殊非协调大变形有限元数值模拟 ·437· 式中，W为满足空间变分条件的变形能储能函 turn Mapping算法进行本构积分时，通过弹性预 数. 测和塑性纠正来计算局部场变量的演变及后继 2.1Sim0的增强位移梯度模式 屈服面的发展.所用的材料本构方程体现了应 最初的增强应变列式是由Simo提出的.假 变强化和损伤软化的影响. 设一物体B的参考构形所占区域为2CR(nm= 3.1超弹性本构关系 2或3)，对其进行四边形有限元离散化后记为 对于发生大变形的超弹性体，弹性势具有 ,将变形0X)X∈2)的分段双线性等参数插 如下形式： 值记为0：2→R,在单元上， Ψ(E)=4[ln2+(In22+ln)2]+ 0(X)=E(Xu)N (5) 子之d+hnAy (11) 式中，X=X(表示来自母单元口=[-1,1]八的等 式中，(i=1,2,3)表示弹性右伸长张量0或左伸 参数映射X:口一矢量uER~表示未知节点位 长张量V的主值.为了便于使用，将(11)式表示 移，X∈R2为节点参考坐标，N为标准等参形函 为 数 (E)-(-2u (12) 1 N5,)=4(1+51+1 (6) 式中，I,I2分别为对数应变张量E的第一和第二 式(6)适用于nm=2,且(，n)为母单元□的旋转 主不变量. 量，其中I=1,not(na=4).三维情况类似 进而，可得到如下形式的以弹性对数应变 在Simo的EASM中，对真实位移梯度gradu 张量E和与其弹性功共轭的应力张量T表示的 附加了一增强位移梯度H,从而得到允许位移 各向同性弹性体的超弹性本构关系 梯度场： T=2μE+t(E) (13) H=gradu+H (7) 32控制方程的弱式形式 协调增践 在空间一点x=()=X+u()上，将变形梯 SP(F):grad.0g+grad.0pFldQ- G()=0 (14) 度F定义为和H的函数 式中，PF)表示由(9)式所求得的名义应力（第 F=1+H=1+gradu+H (8) 一Piola-Kirchhof应力张量). 2.2 Armero的增强变形梯度模式 对于超弹性材料，(14)式可由以下3个独立 Simo在对变形梯度进行增强时，附加了一 场的Hu-Washizu广义变分公式给出 增强位移梯度H,但由此形成的单元在处理压 I(p,F,P)=J[WF)-P产：F]d2+Πd(py(15) 缩问题时遇到困难.对此，Armero提出采用附 式中，WF)为一致储能函数，Π为假设封闭外 加一个增强变形梯度场F来替代位移梯度场H. 载荷的势能函数 通过在单元一级建立变形梯度F=grad,p的 33刚度矩阵 附加增强项F,最终有表达式： 由弱式方程(14)可以得出下列有限元方程： F=gradx+Fh (9) △f=fm-Je[bd2=0 (16) 式中，增强项F“由增强插值H的公式给出 △f=[g]rdn=0 F=FoF (10) 对此非线性方程组采用Newton-Raphson 式中，F表示单元中心的变形梯度的协调项，它 法迭代求解，可得到线性方程： 保证了最终的变形梯度及有限元列式的客观 [Ka KAu_∫Af (17) KKa△al△fr 性 上式适用于第k个迭代步中，节点位移增量 3本构方程 △u=”-及内部增强自由度增量△a=a- .其中，[b],[g]分别为线性及线性增强应变算 本文的EASM采用基于变形梯度弹塑性互 子，△为等效节点力，△f为等效增强节点力. 乘的超弹性一塑性本构模型，在有限应变J流 而△a可由(17)式求得表达式， 动理论的基础之上，采用标准Newton-Raphon △a=-[K]'(△f+K.△w) (18) 迭代法和一致性模量来求解平衡方程.在用R。陈章华等 金属成 型特殊非协调 大 变形有 限元数值模拟 式 中 ， 分为满足 空 间变分条件 的变形 能储能 函 数 。 的增强位移梯度模式 最初 的增强 应变列 式是 由 加 。 提 出 的 假 设一 物体刀的参考构形所 占区域为。 、 二 或 ， 对其进行 四边形有 限元离散化后 记为 肆 、 将变形护因伏任口 的分段双线性等参数插 值记为护穿一 、 ， 在单元众上 ， 枕幻 二 艺 无十“ 〕刃了 式 中 ， 一 众口表示来 自母单元 口一 一 ， 的等 参数映射分 口 叶众 矢量，任俨表示 未知节点位 移 ，，任 为节点参考坐标 ， 为标 准 等参形 函 数 。 。卜音卜。 ， 式 适用 于场‘ ， 且概种为母单元 口 的旋转 量 ， 其 中 ， 腼 二 三维情况类似 在 的 中 ， 对真实位移梯度 附加 了 一增强位移梯度 ， 从而 得到允许位移 梯度场 一 需 蠢 在空 间一点 中 幻 方件“ 刀 上 ， 将变形梯 度 定义为“ 和 的 函数 二 二 的增 强变形梯度模式 。 在对变形梯度进行增强 时 ， 附加 了一 增强位移梯度 ， 但 由此形成 的单元在处理压 缩 问题时遇 到 困难 对此 ， 提 出采用 附 加一个增强变形梯度场 来替代位移梯度场 通过在单元一级建立变形梯度 二 切的 附加增 强项 “ ， 最终有表达式 湖 卜 式 中 ， 增强 项 “ 由增强 插值 的公式 给 出 二 式尸 式 中 ， 表示 单元 中心 的变形梯度 的协调 项 ， 它 保证 了最 终 的 变形 梯 度及有 限元 列 式 的客 观 性 扣 叩 算法进行本构积分时 ， 通过弹性预 测 和 塑性纠正来计算局部场变量 的演变及后继 屈 服 面 的发展 所用 的材料本构方程体现 了应 变强化和 损 伤软化 的影 响 超弹性本构关 系 对 于发生大变形 的超弹 性体 ， 弹性势具有 如下 形式 尹 尸 产 以 ， 以 ， 以 〕 争。 、 、 式 中 ，又 ‘ ，， 表示 弹性右伸长张量 ‘或左伸 长张量 的主值 为 了便于使用 ， 将 式表示 为 二。 一 蜘 堵一 、 式 中 ，不 ，几分别为对数应变张量 的第一和第二 主不变量 进而 ， 可得 到 如下 形式 的 以 弹性对数应变 张量尸 和 与其弹性 功共辘 的应力张量 表示 的 各 向同性弹性体的超弹性本构关系 毒止 玖廿 控制方程的弱式形式 儿入。 酬护 ，响‘ 二 式 中 ， 六尸 表示 由 式所求得 的名义应力 第 一 一 儿 应力 张量 对于超弹性材料 ， 式可 由以下 个独立 场 的 一 广义变分公式 给出 护 ， 矛尸 一 工卿 一户 矛 胡 。 妒 ， 式 中 ， 叫尸 为一致储能函数 ， 为假设封闭外 载荷 的势能 函 数 刚度矩 阵 由弱式方程 可 以得 出下 列有 限元方程 扩 一 广 ‘ ’一 孤〔“ ， “ 一 扩 一 瓜回油 一 对 此非 线性方程 组采用 一 法迭代求解 ， 可得到线性方程 之鬓」 脚 文 一 纂 “ 本构方程 本文 的 采用 基于 变形 梯度 弹塑 性互 乘的超弹性一塑性本构模型 ， 在有 限应 变透流 动理论 的基础 之上 ， 采用 标准 一 迭代法和一致性模量来求解平衡方程 在用 上式适用 于第 个迭代步 中 ， 节点位移增 量 △“ 一 ” 及 内部增 强 自由度 增 量 △ 一 ，，一 砂 其 中 ， 〔 ， 回分别 为线 性及 线性增 强应 变算 子 ， 叮 到 为 等效节点力 ， 习 、 为 等效增 强 节 点力 而△ 可 由 式求得表达式 ， 二 一 几」 一 ， 叮 。 十瓜△