第5期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·627· 不等于a1的第1位，小数点后第2位不等于a2的第 F(n)∈+a,或者F(n)∈-a; 2位，总之小数点后第i位不等于a:的第i位。这个 定义一个新数F()∈+a台T=Fm' 2 数属于有理数区间[0,1]，但它显然不在你的列表 里。这样，就证明了有理数集合是不可数的。 也许你会说，你构造的这个数T已经不是有理 F(n)E-aT= 2 F(n): 数，是一个和有理数具有不同性质的新的数。当然， 因为F:w~Q成立， 现在知道有理数外还有无理数，即(TQ)。 所以，存在k∈ωF(k)∈Q: 即ω是自然数集合，Q全体正有理数集合，假 2 设双射关系F:w~Q成立。 按规定F(k)∈+a台T=F), 按照对角线方法，同样可以找到一个数T,导 致矛盾P(T)P(T),(P(T)表示数T在列表 F(k)e-QeT=-2 (k): 中)。 2 自指代，让T=F(k),T= 即(F:w~Q),(T∈Q)FP(T)P(T), ,T平方大于24 (F:ω~Q)上(TQ),即否定了(T∈Q)。 T平方小于2。 在证明实数不可数时，ω是自然数集合，R为 产生悖论，不可判定命题P(T)P(T)。 全体实数集合，假设双射关系F:ω~R成立，按照 由于这个矛盾的产生，就责怪双射关系F:ω~ 对角线方法，同样可以找到一个数T。,导致矛盾 P(TR)P(TR),(P(TR)表示数Te在列表中)。 Q不能成立，这显然是错误的。其实，7=子，7 即 √2，√迈是U外不动项。 (F:ω~R),(TR∈R)FP(TR)P(TR) 例6实数集合上的域外不动项 (Tg∈R)卜(F:w~R),否定了双射关系 仿照Cantor的对角线方法，U为不为0的全体 F:w~R。 实数集合U=(-0,0)U(0,+o), 对比这2个推理过程： 假设双射关系F:w~U成立，ω是自然数集合。 (F:w~Q),(T∈Q)F 假设在F:w~U中，任意n∈w对应一个 P(T)+P(T) (1) F(n)∈U,即：n∈wF(n)∈U。 (F:w~R),(TR∈R)上 把U分成正数集合与负数集合： P(TR)P(TR) (2) +a={x1x>0,x∈U}=(0,+0) 在前一个矛盾(1)中否定了T∈Q,没有否定 -a={x1x<0,x∈U}=(-0,0) F:w~Q;而后一个矛盾(2)中却否定了F:ω~R, F(n)∈+a,或者F(n)∈-x 而没有否定TR∈R。 1 定义一个新数F(n)∈+a白T=- 对角线证明方法具有统一的形式，矛盾只能有 F(n)' 一个统一的产生根源，实际上，前一个否定是正确 1 的，后一个否定是错误的。 F(n)E-a→T=-Fn 即矛盾是由TR∈R引起的，并不是双射关系 因为F:wU成立，所以，存在： F:ω~R产生的，这说明“如果实数域演算是一致 k∈ωF(k)∈U 的，那么T年R。 按规定F(k)∈+a台T= 例5有理数集合上的域外不动项 F(,F(k)∈-a 1 U为全体正有理数集合U=Q,假设双射关系 1 F:ω~Q成立，w是自然数集合，Q为全体正有理 T=-Fk) 数集合。 假设在F:o~Q中，任意n∈w对应一个 自指代T=F(),T=-7,T是正数~T是 F(n)∈Q,即：n∈wF(n)∈Q。 负数； 把U=Q分成正反集合， 产生悖论，不可判定命题P(T)P(T)。 正集：平方大于2的有理数集合，即：+a= 由于这个矛盾的产生，就责怪双射关系F:ω~ {xlx2>2,x∈Q}。 反集：平方小于2的有理数集合，即：-α= U不能成立，这显然是错误的。其实，T=-元，7= {x1x2<2,x∈Q}。 √I,√I是U外不动项。不等于 ａ１ 的第 １ 位，小数点后第 ２ 位不等于 ａ２ 的第 ２ 位，总之小数点后第 ｉ 位不等于 ａｉ 的第 ｉ 位。 这个 数属于有理数区间［０，１］，但它显然不在你的列表 里。 这样，就证明了有理数集合是不可数的。 也许你会说，你构造的这个数 Ｔ 已经不是有理 数，是一个和有理数具有不同性质的新的数。 当然， 现在知道有理数外还有无理数，即 （Ｔ ∉ Ｑ） 。 即 ω 是自然数集合， Ｑ 全体正有理数集合，假 设双射关系 Ｆ：ω ～ Ｑ 成立。 按照对角线方法，同样可以找到一个数 Ｔ ，导 致矛盾 Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ，（ Ｐ（Ｔ） 表示数 Ｔ 在列表 中）。 即 （Ｆ：ω ～ Ｑ），（Ｔ ∈ Ｑ） ├ Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ， （Ｆ：ω ～ Ｑ） ├ （Ｔ ∉ Ｑ） ，即否定了 （Ｔ ∈ Ｑ） 。 在证明实数不可数时， ω 是自然数集合， Ｒ 为 全体实数集合，假设双射关系 Ｆ：ω ～ Ｒ 成立，按照 对角线方法，同样可以找到一个数 ＴＲ ，导致矛盾 Ｐ（ＴＲ ）↔¬ Ｐ（ＴＲ ） ，（ Ｐ（ＴＲ ） 表示数 ＴＲ 在列表中）。 即 （Ｆ：ω ～ Ｒ），（ＴＲ ∈ Ｒ）├Ｐ（ＴＲ ）↔¬ Ｐ（ＴＲ ） （ＴＲ ∈ Ｒ） ├ ¬ （Ｆ：ω ～ Ｒ） ， 否 定 了 双 射 关 系 Ｆ：ω ～ Ｒ 。 对比这 ２ 个推理过程： （Ｆ：ω ～ Ｑ），（Ｔ ∈ Ｑ）├ Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） （１） （Ｆ：ω ～ Ｒ），（ＴＲ ∈ Ｒ）├ Ｐ（ＴＲ ）↔¬ Ｐ（ＴＲ ） （２） 在前一个矛盾（１）中否定了 Ｔ ∈ Ｑ ，没有否定 Ｆ：ω ～ Ｑ ；而后一个矛盾（２）中却否定了 Ｆ：ω ～ Ｒ ， 而没有否定 ＴＲ ∈ Ｒ 。 对角线证明方法具有统一的形式，矛盾只能有 一个统一的产生根源，实际上，前一个否定是正确 的，后一个否定是错误的。 即矛盾是由 ＴＲ ∈ Ｒ 引起的，并不是双射关系 Ｆ：ω ～ Ｒ 产生的，这说明“如果实数域演算是一致 的，那么 ＴＲ ∉ Ｒ 。 例 ５ 有理数集合上的域外不动项 Ｕ 为全体正有理数集合 Ｕ ＝ Ｑ ，假设双射关系 Ｆ：ω ～ Ｑ 成立， ω 是自然数集合， Ｑ 为全体正有理 数集合。 假设在 Ｆ：ω ～ Ｑ 中，任意 ｎ ∈ ω 对应一个 Ｆ（ｎ） ∈Ｑ ，即： ｎ ∈ ω↔Ｆ（ｎ） ∈ Ｑ 。 把 Ｕ ＝ Ｑ 分成正反集合， 正集：平方大于 ２ 的有理数集合，即： ＋ α ＝ ｘ ｜ ｘ ２ { ＞ ２，ｘ ∈ Ｑ} 。 反集：平方小于 ２ 的有理数集合，即： － α ＝ ｘ ｜ ｘ ２ { ＜ ２，ｘ ∈ Ｑ} 。 Ｆ（ｎ） ∈＋ α ，或者 Ｆ（ｎ） ∈－ α ； 定 义 一 个 新 数 Ｆ（ｎ） ∈＋ α⇔Ｔ ＝ ２ Ｆ（ｎ） ， Ｆ（ｎ） ∈ － α⇔Ｔ ＝ ２ Ｆ（ｎ） ； 因为 Ｆ：ω ～ Ｑ 成立， 所以，存在 ｋ ∈ ω↔Ｆ（ｋ） ∈ Ｑ ； 按规定 Ｆ（ｋ） ∈＋ α⇔Ｔ ＝ ２ Ｆ（ｋ） ， Ｆ（ｋ） ∈－ α⇔Ｔ ＝ ２ Ｆ（ｋ） ； 自指代，让 Ｔ ＝ Ｆ（ｋ） ， Ｔ ＝ ２ Ｔ ， Ｔ 平方大于 ２↔ Ｔ 平方小于 ２。 产生悖论，不可判定命题 Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） 。 由于这个矛盾的产生，就责怪双射关系 Ｆ：ω ～ Ｑ 不能成立，这显然是错误的。 其实， Ｔ ＝ ２ Ｔ ， Ｔ ＝ ２ ， ２ 是 Ｕ 外不动项。 例 ６ 实数集合上的域外不动项 仿照 Ｃａｎｔｏｒ 的对角线方法， Ｕ 为不为 ０ 的全体 实数集合 Ｕ ＝ （ － ¥，０） ∪ （０， ＋ ¥） ， 假设双射关系 Ｆ：ω ～ Ｕ 成立， ω 是自然数集合。 假设在 Ｆ：ω ～ Ｕ 中，任意 ｎ ∈ ω 对应一个 Ｆ（ｎ） ∈Ｕ ，即： ｎ ∈ ω↔Ｆ（ｎ） ∈ Ｕ 。 把 Ｕ 分成正数集合与负数集合： ＋ α ＝ {ｘ ｜ ｘ ＞ ０，ｘ ∈ Ｕ} ＝ （０， ＋ ¥） － α ＝ {ｘ ｜ ｘ ＜ ０，ｘ ∈ Ｕ} ＝ （ － ¥，０） Ｆ（ｎ） ∈＋ α，或者 Ｆ（ｎ） ∈－ α 定义一个新数 Ｆ（ｎ） ∈＋ α⇔Ｔ ＝ － １ Ｆ（ｎ） ， Ｆ（ｎ） ∈－ α⇔Ｔ ＝ － １ Ｆ（ｎ） ； 因为 Ｆ：ω ～ Ｕ 成立，所以，存在： ｋ ∈ ω↔Ｆ（ｋ） ∈ Ｕ 按规定 Ｆ（ｋ） ∈＋ α⇔Ｔ ＝ － １ Ｆ（ｋ） ， Ｆ（ｋ） ∈－ α⇔ Ｔ ＝ － １ Ｆ（ｋ） ； 自指代 Ｔ ＝ Ｆ（ｋ） ， Ｔ ＝ － １ Ｔ ， Ｔ 是正数 ↔ Ｔ 是 负数； 产生悖论，不可判定命题 Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） 。 由于这个矛盾的产生，就责怪双射关系 Ｆ：ω ～ Ｕ 不能成立，这显然是错误的。 其实， Ｔ ＝ － １ Ｔ ， Ｔ ＝ － １ ， － １ 是 Ｕ 外不动项。 第 ５ 期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·６２７·